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概率论与数理统计[教程] Probability Distribution & Mathematical Statistics （考研专区）
第二篇 随机变量及其分布
指数分布
指数分布
日期:
2023-10-01 11:28
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如果随机变量 $X$ 的密度函数为 $$ f(x)=\left\{\begin{array}{cl} \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x} & x>0 \\ 0 & \text { 其余 } \end{array}\right. $$ 则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布， 记为 $X \sim E(\lambda),(\lambda>0)$. 其分布函数为 $$ F(x)=\left\{\begin{array}{cc} 1-\mathrm{e}^{-\lambda x} & x \geq 0 \\ 0 & x<0 \end{array}\right. $$  由定义易得服从指数分布的随机变量的概率计算公式: 设 $X \sim E(\lambda), 0 \leq a<b \quad$ ，则 $p(a<X \leq b)=e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b}$ 例 $\mathbf{1 0}$ 设随机变量 $X \sim E(\lambda)$ ，则对任意实数 $s, t>0$ ， 证明 $P(X>s+t \mid X>s)=P(X>t)$ 证明 可以解得 $P(X>t)=1-F(t)=e^{-\lambda t}$ 故 $P(X>s+t \mid X>s)=\frac{P(X>s+t)}{P(X>s)}=\frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}}=e^{-\lambda t}=P(X>t)$.
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