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概率论与数理统计
第二篇 随机变量及其分布
指数分布
日期:
2023-12-27 07:53
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指数分布
如果随机变量 $X$ 的密度函数为 $$ f(x)=\left\{\begin{array}{cl} \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x} & x>0 \\ 0 & \text { 其余 } \end{array}\right. $$ 则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布, 记为 $X \sim E(\lambda),(\lambda>0)$. 其分布函数为 $$ F(x)=\left\{\begin{array}{cc} 1-\mathrm{e}^{-\lambda x} & x \geq 0 \\ 0 & x<0 \end{array}\right. $$ ![图片](/uploads/2023-01/image_2023010380823a3.png) 由定义易得服从指数分布的随机变量的概率计算公式: 设 $X \sim E(\lambda), 0 \leq a<b \quad$ ,则 $p(a<X \leq b)=e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b}$ 例 $\mathbf{1 0}$ 设随机变量 $X \sim E(\lambda)$ ,则对任意实数 $s, t>0$ , 证明 $P(X>s+t \mid X>s)=P(X>t)$ 证明 可以解得 $P(X>t)=1-F(t)=e^{-\lambda t}$ 故 $P(X>s+t \mid X>s)=\frac{P(X>s+t)}{P(X>s)}=\frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}}=e^{-\lambda t}=P(X>t)$. 指数分布是一种偏态分布, 由于指数分布随机变量只可能取非负实数, 所以指数分布常被用作各种 “寿命” 分布, 譬如电子元器件的寿命、动物的寿命、电话的通话时间、随机服务系统中的等待时间等都可假定服从指数分布. 指数分布在可靠性与排队论中有着广泛的应用. ## 指数分布的无记忆性 在离散分布场合下, 定理 2.4 .2 给出了几何分布的无记忆性, 而在连续分布场合下, 下面给出指数分布的无记忆性. 定理 2.5.2 (指数分布的无记忆性) 如果随机变量 $X \sim \operatorname{Exp}(\lambda)$, 则对任意 $s>0, t>0$ , 有 $$ P(X>s+t \mid X>s)=P(X>t) . $$ 上式可以理解为: 记 $X$ 是某种产品的使用寿命 ( $\mathrm{h})$, 若 $X$ 服从指数分布, 那么已知此产品使用了 $s(\mathrm{~h})$ 没发生故障, 则再能使用 $t(\mathrm{~h})$ 而不发生故障的概率与已使用的 $s(\mathrm{~h})$ 无关, 只相当于重新开始使用 $t(\mathrm{~h})$ 的概率, 即对已使用过的 $s(\mathrm{~h})$ 没有记忆. 以下例子说明了泊松分布与指数分布的关系. **例 1** 如果某设备在长为 $t$ 的时间 $[0, t]$ 内发生故障的次数 $N(t)$ (与时间长度 $t$ 有关)服从参数为 $\lambda t$ 的泊松分布, 则相继两次故障之间的时间间隔 $T$ 服从参数为 $\lambda$的指数分布. 解 设 $N(t) \sim P(\lambda t)$, 即 $$ P(N(t)=k)=\frac{(\lambda t)^k}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda t}, \quad k=0,1, \cdots . $$ 注意到两次故障之间的时间间隔 $T$ 是非负随机变量, 且事件 $\{T \geqslant t\}$ 说明此设备在 $[0, t]$ 内没有发生故障, 即 $\{T \geqslant t\}=\{N(t)=0\}$, 由此我们得 当 $t<0$ 时, 有 $F_T(t)=P(T \leqslant t)=0$; 当 $t \geqslant 0$ 时, 有 $$ F_T(t)=P(T \leqslant t)=1-P(T>t)=1-P(N(t)=0)=1-\mathrm{e}^{-\lambda t}, $$ 所以 $T \sim \operatorname{Exp}(\lambda)$, 即相继两次故障之间的时间间隔 $T$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布, 图 2.5 .5 示意其间关系. ![图片](/uploads/2023-12/image_2023122709ad7db.png)
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