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概率论与数理统计
第二篇 随机变量及其分布
几何分布与负二项分布
日期:
2023-12-27 07:41
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几何分布与负二项分布
如果随机变量 X 的分布律为 ![图片](/uploads/2023-01/image_202301030da0e29.png) 则称 X 服从参数为 p 的几何分布. 几何分布也是一种常用的离散型分布,例如 ![图片](/uploads/2023-01/image_20230103adf2203.png) ![图片](/uploads/2023-01/image_202301035f2ffc7.png) ## 几何分布的无记忆性 定理 (几何分布的无记忆性) 设 $X \sim G e(p)$, 则对任意正整数 $m$ 与 $n$ 有 $$ P(X>m+n \mid X>m)=P(X>n) . $$ 在证明之前先解释上述概率等式的含义. 在一列伯努利试验序列中, 若首次成功 (A) 出现的试验次数 $X$ 服从几何分布, 则事件 $\{X>m\}$ 表示前 $m$ 次试验中 $A$ 没有出现.假如在接下去的 $n$ 次试验中 $A$ 仍末出现, 这个事件记为 $\{X>m+n\}$. 这个定理表明: 在前 $m$ 次试验中 $A$ 没有出现的条件下, 在接下去的 $n$ 次试验中 $A$ 仍末出现的概率只与 $n$ 有关, 而与以前的 $m$ 次试验无关, 似乎忘记了前 $m$ 次试验结果, 这就是无记忆性. ## 负二项分布 负二项分布是几何分布的一个延伸.在伯努利试验中,记每次试验中 $A$ 事件发 生的概率 $P(A)=p(0<p<1)$ ,设随机变量 $X$ 表示 $A$ 事件第 $r$ 次出现时的试验次 数,则 $X$ 的取值为 $r, r+1, \cdots, r+n, \cdots$ ,相应的分布律为: $$ P(X=k)=\left(\begin{array}{c} k-1 \\ r-1 \end{array}\right) p^r(1-p)^{k-r}, \quad 0<p<1, \quad k=r, r+1, \cdots, r+n, \cdots $$ 称随机变量 $X$ 服从参数为 $r, p$ 的负二顶分市,记为 $X \sim \mathrm{NB}(r, p)$ 。其中当 $r=1$ 时,即为几何分布.
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