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复习2:渐近线与曲率
日期:
2024-03-27 15:21
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复习2:渐近线与曲率
(1) 水平渐近线 若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=b$ 或 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=b$, 则 $y=b$ 为函数 $y=f(x)$ 的水平渐近线. (2) 垂直渐近线 若 $\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x)=\infty$ 或 $\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)=\infty$, 则 $x=x_0$ 为函数 $y=f(x)$ 的垂直渐近线. (3) 斜渐近线 若 $k=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}, b=\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-k x]$ (或 $k=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}, b=\lim _{x \rightarrow-\infty}[f(x)-k x]$ ), 则 直线 $y=k x+b$ 是曲线 $y=f(x)$ 的斜渐近线. 直角坐标下,曲线 $y=f(x)$ 二阶可导,则曲率 $k=\frac{\left|y^{\prime \prime}\right|}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}$; 曲线由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t)\end{array}\right.$ 确定, $\varphi(t), \psi(t)$ 二阶可导, 则曲率 $k=\frac{\left|\varphi^{\prime}(t) \psi^{\prime \prime}(t)-\varphi^{\prime \prime}(t) \psi^{\prime}(t)\right|}{\left[\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)\right]^{\frac{3}{2}}}$. 曲率半径 $R=\frac{1}{k}(k \neq 0)$.
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