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复习1：微积分公式

## 有用的公式
### 三角恒等式
$$
\begin{array}{ll}
\cos (a+b)=\cos a \cos b-\sin a \sin b & \cos (a-b)=\cos a \cos b+\sin a \sin b \\
\sin (a+b)=\sin a \cos b+\cos a \sin b & \sin (a-b)=\sin a \cos b-\cos a \sin b \\
\cos \left(a-\frac{\pi}{2}\right)=\sin a & \sin \left(a+\frac{\pi}{2}\right)=\cos a \\
\cos ^2 a=\frac{1+\cos 2 a}{2} & \sin ^2 a=\frac{1-\cos 2 a}{2} \\
\cos 2 a=\cos ^2 a-\sin ^2 a & \sin 2 a=2 \sin a \cos a \\
\cos a+\sin a=\sqrt{2} \cos \left(a-\frac{\pi}{4}\right) & \cos a+\sin a=\sqrt{2} \sin \left(a+\frac{\pi}{4}\right) \\
\alpha \cos a+\beta \sin a=\sqrt{\alpha^2+\beta^2} \cos (a-b), \text { 其中 } \cos b=\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}, \sin b=\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}
\end{array}
$$

### 复数
$$
\begin{array}{lll}
z=x+\mathrm{i} y & \vec{z}=x-\mathrm{i} y & \operatorname{Re}(z)=x, \operatorname{Im}(z)=y \\
z+\bar{z}=2 \operatorname{Re}(z)=2 x & z-\bar{z}=2 \mathrm{i} \operatorname{Im}(z)=2 \mathrm{i} y & |z|=\sqrt{z \cdot \bar{z}}=\sqrt{x^2+y^2} \\
|z|^2=z \cdot \bar{z}=x^2+y^2 & z^2=x^2-y^2+2 \mathrm{i} x y & \frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{z \cdot \bar{z}}=\frac{x-\mathrm{i} y}{x^2+y^2}(z \neq 0)
\end{array}
$$

### 三角形不等式: 
如果 $z$ 和 $w$ 是复数, 则
$$
|z \pm w| \leqslant|z|+|w| \text { 和 } \quad|| z|-| w|| \leqslant|z \pm w|
$$

## 欧拉恒等式及相关恒等式
如果 $x$ 是任意实数, 则
$$
\begin{array}{lll}
\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}=\cos x+\mathrm{i} \sin x & \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}=\cos x-\mathrm{i} \sin x & \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}=\overline{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}\right)} \quad\left|\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}\right|=1 \\
\cos x=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}}{2} & \sin x=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}}{2 \mathrm{i}} & (\cos n x+\mathrm{i} \sin n x)^n=\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}=\cos n x+\mathrm{i} \sin n
\end{array}
$$

复数的极坐标表示
$$
\begin{aligned}
& z=x+\mathrm{i} y=r \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=r(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta) \\
& r=|z|=\sqrt{x^2+y^2} \\
& x=r \cos \theta, \quad y=r \sin \theta
\end{aligned}
$$

泰勒级数展开: 设 $z$ 是实数或复数, 则
$$
\begin{aligned}
& \left.\mathrm{e}^z=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n !} \quad \text { (任意 } z\right.) \\
& \left.\cos z=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{2 n}}{(2 n) !} \text { （任意 } z\right. ) \\
& \left.\sin z=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{2 n+1}}{(2 n+1) !} \quad \text { (任意 } z\right. ) \\
&
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
& \frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty} z^n \quad(|z|<1) \\
& \cosh z=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2 n}}{(2 n) !} \quad \text { (任意 } z \text { ) } \\
& \left.\sinh z=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2 n+1}}{(2 n+1)} \text { (任意 } z\right. ) \\
&
\end{aligned}
$$

##  基本求导公式
$C^{\prime}=0$
$\left(x^\alpha\right)^{\prime}=\alpha x^{\alpha-1} $
$ (\sin x)^{\prime}=\cos x $
$  (\cos x)^{\prime}=-\sin x $
$ (\tan x)^{\prime}=\sec ^2 x $
$ (\cot x)^{\prime}=-\csc ^2 x $
$ (\sec x)^{\prime}=\sec x \tan x  $
               
$ (\csc x)^{\prime}=-\csc x \cot x $
               
$ \left(a^x\right)^{\prime}=a^x \ln a $
               
 $ \left(\mathrm{e}^x\right)^{\prime}=\mathrm{e}^x $
               
  $ \left(\log _a x\right)^{\prime}=\dfrac{1}{x \ln a} $
               
 $  (\ln x)^{\prime}=\dfrac{1}{x} $
      $ (\arcsin x)^{\prime}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} $
    $  (\arccos x)^{\prime}=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}  $
               
 $(\arctan x)^{\prime}=\dfrac{1}{1+x^2}   $
               
 $ (\operatorname{arccot} x)^{\prime}=-\dfrac{1}{1+x^2}    $
     $ (\operatorname{sh} x)=\operatorname{ch} x    $
             
 $ (\operatorname{ch} x)=\operatorname{sh} x    $
    $ (\operatorname{th} x)= \dfrac{1}{\operatorname{ch}^2 x}    $
             
 $ ( arsh  x)= \dfrac{1}{ \sqrt{1+x^2}}    $
   $ ( arch  x)= \dfrac{1}{ \sqrt{x^2-1}}    $
   $ ( arth  x)= \dfrac{1}{ \sqrt{1-x^2}}    $
             
 注：双曲正弦 $sh x= \dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$
 双曲正弦 $ch x= \dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$
 双曲正切 $th x= \dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$
 
## 积分表
      
 $\int x^k \mathrm{~d} x=\frac{x^{k+1}}{k+1}+C(k \neq-1)$.
               
 $\int \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\ln |x|+C$.
             
  $\int a^x \mathrm{~d} x=\frac{a^x}{\ln a}+C$. 
             
 $\int \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x=\mathrm{e}^x+C$
             
 $\int \cos x \mathrm{~d} x=\sin x+C$. 
           
 $\int \sin x d x=-\cos x+C$.
    $ \int \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x=\int \csc x \mathrm{~d} x=\ln |\csc x-\cot x|+C  $
             
 $ \int \frac{1}{\cos x} \mathrm{~d} x=\int \sec x d x=\ln |\sec x+\tan x|+C $
 $\int \frac{1}{\sin ^2 x} \mathrm{~d} x=\int \csc ^2 x \mathrm{~d} x=-\cot x+C$
    $ \int \frac{1}{\cos ^2 x} \mathrm{~d} x=\int \sec ^2 x \mathrm{~d} x=\tan x+C$.
             
$\int \tan x \mathrm{~d} x=-\ln |\cos x|+C$
      $ \int \cot x \mathrm{~d} x=\ln |\sin x|+C$.
             
 $\int \sec x \tan x \mathrm{~d} x=\sec x+C$ 
             
 $ \int \csc x \cot x \mathrm{~d} x=-\csc x+C$.
             
 $\int \frac{1}{a^2+x^2} \mathrm{~d} x=\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}+C $
   $ \int \frac{1}{1+x^2} \mathrm{~d} x=\arctan x+C$ 
             
$ \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \mathrm{~d} x=\arcsin \frac{x}{a}+C $
   
   $  \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x=\arcsin x+C$ 
             
 $\int \frac{1}{a^2-x^2} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C $
           
 $ \int \frac{1}{1-x^2} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \ln \left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C$
             
 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} \mathrm{~d} x=\ln \left|x+\sqrt{x^2 + a^2}\right|+C$
            
               
 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} \mathrm{~d} x=\ln \left|x+\sqrt{x^2 - a^2}\right|+C$
             
  $\int sh x dx=ch x +C $

$\int ch x dx=sh x +C $
 
 
 
 
## 广义积分公式
$$
\begin{aligned}
& \int_0^{\infty} \frac{\sin a x}{x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2}, \text { 若 } a>0 ;-\frac{\pi}{2}, \text { 若 } a<0 . \\
& \int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-a^2 x^2} \mathrm{~d} x=\frac{\sqrt{\pi}}{2 a} \\
& \int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-a^2 x^2} \cos b x \mathrm{~d} x=\frac{\sqrt{\pi}}{2|a|} \mathrm{e}^{-b^2 /\left(4 a^2\right)}(b \neq 0) \\
& \int_0^{\infty} \frac{\cos w x}{a^2+x^2} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2|a|} \mathrm{e}^{-|w a|} \\
& \int_{-\infty}^{\infty} \cos \left(x^2\right) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{\infty} \sin \left(x^2\right) \mathrm{d} x=\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\end{aligned}
$$

## 泰勒级数以及常见麦克劳林展开式
 
 定义：设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的某一邻域内具有任意阶导数, 级数
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n !}\left(x-x_0\right)^n=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2 !}\left(x-x_0\right)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n !}\left(x-x_0\right)^n+\cdots
$$
称为 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的泰勒级数.
当 $x_0=0$ 时, 级数化为
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^n=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !} x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^n+\cdots
$$
称为麦克劳林级数.

常见函数展开式：

$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} x^n, \quad x \in(-1,1)$.

$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots+(-1)^n x^n+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n, \quad x \in(-1,1)$.

$\mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2 !}+\cdots+\frac{x^n}{n !}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n !}, \quad x \in(-\infty,+\infty)$.

$\sin x=x-\frac{x^3}{3 !}+\cdots+(-1)^n \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}, \quad x \in(-\infty,+\infty)$.

$\cos x=1-\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^4}{4 !}-\cdots+(-1)^n \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}, \quad x \in(-\infty,+\infty)$.

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1}, \quad x \in(-1,1]$.

$(1+x)^a=1+a x+\frac{a(a-1)}{2 !} x^2+\cdots+\frac{a(a-1) \cdots(a-n+1)}{n !} x^n+\cdots, x \in(-1,1)$.
      
 
 
## 等价无穷小
等价无穷小是考研数学中常用的求极限技巧，下面列出常用的等价无穷小

#### 和$x$等价无穷小 
①$\sin x \sim x$
②$\tan x \sim x$
③$\arcsin x \sim x$
④$\arctan x \sim x$
⑤$\mathrm{e}^x-1  \sim x $
⑥$\ln (1+x) \sim x$
⑦$\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} \sim x $

#### 和$\frac{1}{2} x^2$等价无穷小 
①$1-\cos x \sim \frac{1}{2} x^2 $
②$x-\ln (1+x) \sim \frac{1}{2} x^2 $
③$e^x-x-1 \sim \frac{1}{2} x^2$

#### 和$\frac{1}{2} x^3$等价无穷小 
①$\tan x-\sin x \sim \frac{1}{2} x^3 $    
②$\arcsin x-\arctan x\sim \frac{1}{2} x^3 $

#### 和$\frac{1}{6} x^3$等价无穷小 
① $x-\sin x \sim \frac{1}{6} x^3 $
② $\tan x-arcsinx \sim \frac{1}{6} x^3$
③ $\arcsin x-x \sim \frac{1}{6} x^3 $     
④$ \sin x -arttan x \sim \frac{1}{6} x^3$

#### 和$\frac{1}{3} x^3$等价无穷小 
① $\tan x-x \sim \frac{1}{3} x^3$
② $ x-\arctan x \sim \frac{1}{3} x^3 $
③ $ arcsinx-\sin x \sim  \frac{1}{3} x^3 $
④ $tanx-arctanx \sim  \frac{2}{3} x^3 $
⑤ $x-ln(1+x)-\frac{x^2}{2} \sim -\frac{1}{3} x^3$

#### 指数根号类等价无穷小
①$ a^x-1 \sim x \ln a $
②$ (1+a x)^b-1 \sim a b x $
③$ \sqrt[b]{1+a x}-1 \sim \frac{a}{b} x $
④$\log _a(1+x) \sim \frac{x}{\ln a} $
⑤$\sqrt[n]{1+x}-1 \sim \frac{x}{n} $ (③中a=b=1的特殊情况)
⑥$(1+x)^n-1=nx$ (②中a=1的特殊情况)
⑦$x^x-1 \sim xlnx , (x \to 1)$
 
 
若 $u(x), v(x)$ 均 $n$ 均可导, 则
$$
(u v)^{(n)}=\sum_{i=0}^t C_n^i u^{(i)} v^{(n-i)} \text {, 其中 } u^{(0)}=u, v^{(0)}=v \text {. }
$$
  
 
     
 ## 常用极限技巧

① $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$   直接计算

② $0 \cdot \infty$ 恒等变形 $\frac{0}{\frac{1}{\infty}}$ 或 $\frac{\infty}{\frac{1}{0}}$

③ $\infty-\infty$ 通分式子 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 
 
④ $\infty^0$ 或 $0^0$ 或 $1^{\infty}$ 利用 $u^v = e^{ v \ln u}$ 进行变形，
再参考 $0 . \infty$ 化为 $\frac{0}{\frac{1}{\infty}}$ 或 $\frac{\infty}{\frac{1}{0}}$} 处理

#### 极限的几个结论
$$
\begin{array}{llll}
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1 & \lim _{x \rightarrow+\infty} \arctan x=\frac{\pi}{2} & \lim _{x \rightarrow-\infty} \arctan x=-\frac{\pi}{2} & \lim _{x \rightarrow+\infty} \operatorname{arccot} x=0 \\
\lim _{x \rightarrow-\infty} \mathrm{e}^x=0 & \lim _{x \rightarrow-\infty} \operatorname{arccot} x=\pi & \lim _{x \rightarrow+\infty} e^x=\infty & \lim _{x \rightarrow+0^{+}} x^x=1
\end{array}
$$

##  函数的和、差、积、商的求导法则

设 $u=u(x), v=v(x)$ 都可导, 则
(1) $(u \pm v)^{\prime}=u^{\prime} \pm v^{\prime}$,
(2) $(C u)^{\prime}=C u^{\prime}(C$ 是常数),
(3) $(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}$,
(4) $\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^2}(v \neq 0)$.

## 反函数的求导法则

设 $x=f(y)$ 在区间 $I_y$ 内单调、可导且 $f^{\prime}(y) \neq 0$, 则它的反函数 $y=f^{-1}(x)$ 在 $I_x$ $=f\left(I_y\right)$ 内也可导, 且
$$
\left[f^{-1}(x)\right]^{\prime}=\frac{1}{f^{\prime}(y)} \text { 或 } \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}} \text {. }
$$

## 复合函数的求导法则

设 $y=f(u)$, 而 $u=g(x)$ 且 $f(u)$ 及 $g(x)$ 都可导, 则复合函数 $y=f[g(x)]$ 的导数为
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x} \text { 或 } \quad y^{\prime}(x)=f^{\prime}(u) \cdot g^{\prime}(x) .
$$
## 高阶导数的莱布尼兹公式
$$
\begin{aligned}
(u v)^{(n)}= & u^{(n)} v+n u^{(n-1)} v^{\prime}+\frac{n(n-1)}{2 !} u^{n-2)} v^{\prime \prime}+\cdots+ \\
& \frac{n(n-1) \cdots(n-k+1)}{k !} u^{(n-k)} v^{(k)}+\cdots+u v^{(n)} .
\end{aligned}
$$
这公式可以这样记忆: 把 $(u+v)^n$ 按二项式定理展开写成
$$
(u+v)^n=u^n v^0+n u^{n-1} v^1+\frac{n(n-1)}{2 !} u^{n-2} v^2+\cdots+u^0 v^n,
$$

即
$$
(u+v)^n=\sum_{k=0}^n \mathrm{C}_n^k u^{n-k} v^k(1),
$$

## 参数函数求导
$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\psi^{\prime}(t)}{\varphi^{\prime}(t)} $

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