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复习0：主要概念集（下）

## 空间几何体
## 基本概念
空间两点的距离: $d=\left|M_1 M_2\right|=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2}$向量在轴上的投影: $\operatorname{Prj}_\mu \overrightarrow{A B}=|\overrightarrow{A B}| \cdot \cos \varphi, \varphi$ 是 $\overrightarrow{A B}$ 与 $u$ 轴的夹角。

$\operatorname{Prj} _w\left(\vec{a}_1+\vec{a}_2\right)=\operatorname{Prj} \vec{a}_1+\operatorname{Prj} \vec{a}_2$
$\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}| \cdot|\vec{b}| \cos \theta=a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z$, 是一个数量,
两向量之间的夹角: $\cos \theta=\frac{a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z}{\sqrt{a_x{ }^2+a_y{ }^2+a_z{ }^2} \cdot \sqrt{b_x{ }^2+b_y{ }^2+b_z{ }^2}}$
$\vec{c}=\vec{a} \times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}i & j & k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z\end{array}\right| \cdot|\vec{c}|=|\vec{a}| \cdot|\vec{b}| \sin \theta$.

例: 线速度: $\bar{v}=\bar{w} \times \vec{r}$.

向量的混合积: $[\bar{a} \bar{b} \vec{c}]=(\vec{a} \times \bar{b}) \cdot \vec{c}=\left|\begin{array}{lll}a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z\end{array}\right|=|\vec{a} \times \vec{b}| \cdot|\vec{c}| \cos \alpha, \alpha$ 为锐角时，代表平行六面体的体积。

## 平面的方程
1、点法式: $A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+C\left(z-z_0\right)=0$, 其中 $\vec{n}=\{A, B, C\}, M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$
2、一般方程: $A x+B y+C z+D=0$
3、截距世方程: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$
平面外任意一点到该平面的距离: $d=\frac{\left|A x_0+B y_0+C z_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
空问直线的方程: $\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=t$, 其中 $\vec{s}=\{m, n, p\}$; 骖数方程: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+m t \\ y=y_0+n t \\ z=z_0+p t\end{array}\right.$

### 二次曲面
(1) 椭球面: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1(a, b, c>0)$
(2)椭圆抛物面: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2 c z(a, b>0)$
(3)椭圆锥面: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}(a, b, c>0)$
(4) 椭圆柱面: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a, b>0)$
(5) 双曲柱面: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a, b>0)$
(6)抛物柱面: $\frac{x^2}{a^2}-y=0(a>0)$
(7)单叶双曲面: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1(a, b, c>0)$
(8)双叶双曲面: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1(a, b, c>0)$
(9)双曲拋物面 (马鞍面): $\frac{x^2}{p}-\frac{y^2}{q}=z(p>0, q>0)$

## 多元函数微分法及应用

全微分: $d z=\frac{\partial z}{\partial x} d x+\frac{\partial z}{\partial y} d y \quad d u=\frac{\partial u}{\partial x} d x+\frac{\partial u}{\partial y} d y+\frac{\partial u}{\partial z} d z$
全微分的近似计算: $\Delta z \approx d z=f_x(x, y) \Delta x+f_{,}(x, y) \Delta y$
多元复合函数的求导法:
$z=f[u(t), v(t)] \quad \frac{d z}{d t}=\frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial t}$
$z=f[u(x, y), v(x, y)] \quad \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$
当 $u=u(x, y), v=v(x, y)$ 时，
$d u=\frac{\partial u}{\partial x} d x+\frac{\partial u}{\partial y} d y \quad d v=\frac{\partial v}{\partial x} d x+\frac{\partial v}{\partial y} d y$
#### 隐函数的求导公式:
隐函数 $F(x, y)=0, \quad \frac{d y}{d x}=-\frac{F_x}{F_y}, \quad \frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{F_x}{F_y}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{F_x}{F_y}\right) \cdot \frac{d y}{d x}$
隐函数 $F(x, y, z)=0, \quad \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$

隐函数方程组: $\left\{\begin{array}{l}F(x, y, u, v)=0 \\ G(x, y, u, v)=0\end{array} \quad J=\frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial v}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}F_u & F_v \\ G_u & G_v\end{array}\right|\right.$
$$
\begin{array}{ll}
\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J} \cdot \frac{\partial(F, G)}{\partial(x, v)} & \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J} \cdot \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, x)} \\
\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J} \cdot \frac{\partial(F, G)}{\partial(y, v)} & \frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{J} \cdot \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, y)}
\end{array}
$$

## 微分法在几何上的应用:
空间曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \text { 在点 } M\left(x_0, y_0, z_0\right) \text { 处的切线方程: } \frac{x-x_0}{\varphi^{\prime}\left(t_0\right)}=\frac{y-y_0}{\psi^{\prime}\left(t_0\right)}=\frac{z-z_0}{\omega^{\prime}\left(t_0\right)} \\ z=\omega(t)\end{array}\right.$
在点 $M$ 处的法平面方程: $\varphi^{\prime}\left(t_0\right)\left(x-x_0\right)+\psi^{\prime}\left(t_0\right)\left(y-y_0\right)+\omega^{\prime}\left(t_0\right)\left(z-z_0\right)=0$
若空间曲线方程为: $\left\{\begin{array}{l}F(x, y, z)=0 \\ G(x, y, z)=0\end{array}\right.$, 则切向量 $\vec{T}=\left\{\begin{array}{ll}F_y & F_z \\ G_y & G_z\end{array}\left|, \begin{array}{ll}F_z & F_x \\ G_z & G_x\end{array}\right|,\left|\begin{array}{ll}F_x & F_y \\ G_x & G_y\end{array}\right|\right\}$
曲面 $F(x, y, z)=0$ 上一点 $M\left(x_0, y_0, z_0\right)$, 则:
1、过此点的法向量: $\vec{n}=\left\{F_x\left(x_0, y_0, z_0\right), F_y\left(x_0, y_0, z_0\right), F_z\left(x_0, y_0, z_0\right)\right\}$
2、过此点的切平面方程: $F_x\left(x_0, y_0, z_0\right)\left(x-x_0\right)+F_y\left(x_0, y_0, z_0\right)\left(y-y_0\right)+F_z\left(x_0, y_0, z_0\right)\left(z-z_0\right)=0$
3、过此点的法线方程: $\frac{x-x_0}{F_x\left(x_0, y_0, z_0\right)}=\frac{y-y_0}{F_y\left(x_0, y_0, z_0\right)}=\frac{z-z_0}{F_z\left(x_0, y_0, z_0\right)}$

## 方向导数与梯度:
函数 $z=f(x, y)$ 在一点 $p(x, y)$ 沿任一方向 $l$ 的方向导数为: $\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x} \cos \varphi+\frac{\partial f}{\partial y} \sin \varphi$
其中 $\varphi$ 为 $x$ 轴到方向 $l$ 的转角。
函数 $z=f(x, y)$ 在一点 $p(x, y)$ 的梯度: $\operatorname{grad} f(x, y)=\frac{\partial f}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y} \vec{j}$
它与方向导数的关系是: $\frac{\partial f}{\partial l}=\operatorname{grad} f(x, y) \cdot \vec{e}$, 其中 $\vec{e}=\cos \varphi \cdot \vec{i}+\sin \varphi \cdot \vec{j}$, 为 $l$ 方向上的单位向量。
$\therefore \frac{\partial f}{\partial l}$ 是 $\operatorname{grad} f(x, y)$ 在 $l$ 上的投影。

## 多元函数的极值及其求法:
$$
\begin{aligned}
& \text { 设 } f_x\left(x_0, y_0\right)=f_y\left(x_0, y_0\right)=0 \text {, 令: } f_{x x}\left(x_0, y_0\right)=A, \quad f_{x y}\left(x_0, y_0\right)=B, \quad f_{y y}\left(x_0, y_0\right)=C \\
& \text { 则: } \begin{cases}A C-B^2>0 \text { 时, }\left\{\begin{array}{l}
A<0,\left(x_0, y_0\right) \text { 为极大值 } \\
A>0,\left(x_0, y_0\right) \text { 为极小值 }
\end{array}\right. \\
A C-B^2<0 \text { 时, } & \text { 无极值 } \\
A C-B^2=0 \text { 时, } & \text { 不确定 }\end{cases} \\
&
\end{aligned}
$$

## 重积分及其应用:
$$
\iint_D f(x, y) d x d y=\iint_{D^{\prime}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r d \theta
$$

曲面 $z=f(x, y)$ 的面积 $A=\iint_D \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} d x d y$
平面薄片的重心: $\bar{x}=\frac{M_x}{M}=\frac{\iint_D x \rho(x, y) d \sigma}{\iint_D \rho(x, y) d \sigma}, \quad \bar{y}=\frac{M_y}{M}=\frac{\iint_D y \rho(x, y) d \sigma}{\iint_D \rho(x, y) d \sigma}$
平面薄片的转动惯量: 对于 $x$ 轴 $I_x=\iint_D y^2 \rho(x, y) d \sigma$, 对于 $y$ 轴 $I_y=\iint_D x^2 \rho(x, y) d \sigma$平面薄片 (位于 $x o y$ 平面) 对 $z$ 轴上质点 $M(0,0, a),(a>0)$ 的引力: $F=\left\{F_x, F_y, F_z\right\}$, 其中:
$$
F_x=f \iint_D \frac{\rho(x, y) x d \sigma}{\left(x^2+y^2+a^2\right)^{\frac{3}{2}}}, \quad F_y=f \iint_D \frac{\rho(x, y) y d \sigma}{\left(x^2+y^2+a^2\right)^{\frac{3}{2}}}, \quad F_z=-f a \iint_D \frac{\rho(x, y) x d \sigma}{\left(x^2+y^2+a^2\right)^{\frac{3}{2}}}
$$

## 柱面坐标和球面坐标:

柱面坐标 $$\left\{\begin{array}{c}
x=r \cos \theta \\
y=r \sin \theta, \\
z=z
\end{array}\right. $$ 
$\iiint_{\Omega} f(x, y, z) d x d y d z=\iiint_{\Omega} F(r, \theta, z) r d r d \theta d z,$

其中: $F(r, \theta, z)=f(r \cos \theta, r \sin \theta, z)$

球面坐标
$$ \left\{\begin{array}{c}
x=r \sin \varphi \cos \theta \\
y=r \sin \varphi \sin \theta, \\
z=r \cos \varphi
\end{array}\right.$$
$d v=r d \varphi \cdot r \sin \varphi \cdot d \theta \cdot d r=r^2 \sin \varphi d r d \varphi d \theta$

$$
\begin{aligned}
& \iiint_{\Omega} f(x, y, z) d x d y d z=\iiint_{\Omega} F(r, \varphi, \theta) r^2 \sin \varphi d r d \varphi d \theta=\iint_0^{2 \pi} d \theta \iint_0^\pi d \varphi \int_0^{r(\theta, \theta)} F(r, \varphi, \theta) r^2 \sin \varphi d r \\
& \text { 重心: } \bar{x}=\frac{1}{M} \iiint_{\Omega} x \rho d v, \quad \bar{y}=\frac{1}{M} \iiint_{\Omega} y \rho d v, \quad \bar{z}=\frac{1}{M} \iiint_{\Omega} z \rho d v, \quad \text { 其中 } M=\bar{x}=\iiint_{\Omega} \rho d v \\
& \text { 转动惯量: } I_x=\iiint_{\Omega}\left(y^2+z^2\right) \rho d v, \quad I_y=\iiint_{\Omega}\left(x^2+z^2\right) \rho d v, \quad I_z=\iiint_{\Omega}\left(x^2+y^2\right) \rho d v
\end{aligned}
$$

## 曲线积分:
### 第一类曲线积分 (对弧长的曲线积分)：
设 $f(x, y)$ 在 $L$ 上连续, $L$ 的参数方程为: $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t)\end{array}, \quad(\alpha \leq t \leq \beta)\right.$, 则:
$$
\int_i f(x, y) d s=\int_\alpha^\beta f[\varphi(t), \psi(t)] \sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)} d t \quad(\alpha<\beta) \quad \text { 特殊情况: }\left\{\begin{array}{c}
x=t \\
y=\varphi(t)
\end{array}\right.
$$

### 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：
设 $L$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t)\end{array}\right.$, 则:
$$
\int_L P(x, y) d x+Q(x, y) d y=\int_\alpha^\beta\left\{P[\varphi(t), \psi(t)] \varphi^{\prime}(t)+Q[\varphi(t), \psi(t)] \psi^{\prime}(t)\right\} d t
$$

两类曲线积分之间的关系: $\int_L P d x+Q d y=\int_L(P \cos \alpha+Q \cos \beta) d s$, 其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 分别为
$L$ 上积分起止点处切向量的方向角。
格林公式: $\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y=\oint_L P d x+Q d y$ 格林公式: $\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y=\oint_L P d x+Q d y$当 $P=-y, Q=x$, 即: $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2$ 时, 得到 $D$ 的面积: $A=\iint_D d x d y=\frac{1}{2} \oint x d y-y d x$
平面上曲线积分与路径无关的条件:
1、 $G$ 是一个単连通区域;
2、 $P(x, y), Q(x, y)$ 在 $G$ 内具有一阶连续偏导数, 且 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ 。注意奇点, 如 $(0,0)$, 应减去对此奇点的积分, 注意方向相反!
二元函数的全微分求积:
在 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ 时, $P d x+Q d y$ 才是二元函数 $u(x, y)$ 的全微分, 其中:
$u(x, y)=\int_{\left(x_0, y_0\right)}^{(x, y)} P(x, y) d x+Q(x, y) d y$, 通常设 $x_0=y_0=0$ 。

## 曲面积分:
对面积的曲面积分: $\iint_{\Sigma} f(x, y, z) d s=\iint_{D_o} f[x, y, z(x, y)] \sqrt{1+z_x^2(x, y)+z_y^2(x, y)} d x d y$
对坐标的曲面积分: $\iint_{\Sigma} P(x, y, z) d y d z+Q(x, y, z) d z d x+R(x, y, z) d x d y$, 其中:
$\iint_{\Sigma} R(x, y, z) d x d y= \pm \iint_{D_n} R[x, y, z(x, y)] d x d y$, 取曲面的上侧时取正号;
$\iint_{\Sigma} P(x, y, z) d y d z= \pm \iint_{D_z} P[x(y, z), y, z] d y d z$, 取曲面的前侧时取正号：
$\iint_{\Sigma} Q(x, y, z) d z d x= \pm \iint_{D_a} Q[x, y(z, x), z] d z d x$, 取曲面的右侧时取正号。
两类曲面积分之间的关系: $\iint_{\Sigma} P d y d z+Q d z d x+R d x d y=\iint_{\Sigma}(P \cos \alpha+Q \cos \beta+R \cos \gamma) d s$

## 高斯公式:
$$
\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) d v=\oint_{\Sigma} P d y d z+Q d z d x+R d x d y=\oint_{\Sigma}(P \cos \alpha+Q \cos \beta+R \cos \gamma) d s
$$

高斯公式的物理意义一 一通量与散度:
散度： $\operatorname{div} \bar{v}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$, 即：单位体积内所产生的流体质量, 若 $\operatorname{div} \bar{v}<0$, 则为消失..

通量: $\iint_{\Sigma} \vec{A} \cdot \vec{n} d s=\iint_{\Sigma} A_n d s=\iint_{\Sigma}(P \cos \alpha+Q \cos \beta+R \cos \gamma) d s$,
因此, 高斯公式又可写成: $\iiint_{\Omega} \operatorname{div} \vec{A} d v=\oint_{\Sigma} A_n d s$

## 斯托克斯公式一曲线积分与曲面积分的关系:
$$
\iint_{\Sigma}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) d y d z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) d z d x+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y=\oint_{\Gamma} P d x+Q d y+R d z
$$

空间曲线积分与路径无关的条件: $\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$
旋度: $\operatorname{rot} \vec{A}=\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{i} & \mathrm{j} & \mathrm{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R\end{array}\right|$
向量场 $\vec{A}$ 沿有向闭曲线 $\Gamma$ 的环流量: $\oint_{\Gamma} P d x+Q d y+R d z=\oint_{\Gamma} \vec{A} \cdot \vec{t} d s$

## 常数项级数:
等比数列: $1+q+q^2+\cdots+q^{n-1}=\frac{1-q^n}{1-q}$
等差数列 $: 1+2+3+\cdots+n=\frac{(n+1) n}{2}$
调和级数: $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$ 是发散的
## 级数审敛法:

1、正项级数的审敛法一一根植审敛法 (柯西判别法) :
设: $\rho=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_n}$, 则 $\left\{\begin{array}{c}\rho<1 \text { 时, 级数收敛 } \\ \rho>1 \text { 时, 级数发散 } \\ \rho=1 \text { 时, 不确定 }\end{array}\right.$
2、比值审敛法:
设: $\rho=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{U_{n-1}}{U_n}$, 则 $\left\{\begin{array}{c}\rho<\text { 时, 级数收敛 } \\ \rho>1 \text { 时, 级数发散 } \\ \rho=1 \text { 时, 不确定 }\end{array}\right.$
3、定义法:
$s_n=u_1+u_2+\cdots+u_n ; \lim _{n \rightarrow \infty} s_n$ 存在, 则收敛; 否则发散。
交错级数 $u_1-u_2+u_3-u_4+\cdots$ (或 $-u_1+u_2-u_3+\cdots, u_n>0$ ) 的审敛法一一莱布尼兹定理:如果交错级数满足 $\left\{\begin{array}{l}u_n \geq u_{n+1} \\ \lim _{n \rightarrow \infty} u_n=0\end{array}\right.$, 那么级数收敛且其和 $s \leq u_1$, 其余项 $r_n$ 的绝对值 $\left|r_n\right| \leq u_{n+1}{ }^{\circ}$
### 绝对收敛与条件收敛:
(1) $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$, 其中 $u_n$ 为任意实数:
(2) $\left|u_1\right|+\left|u_2\right|+\left|u_3\right|+\cdots+\left|u_n\right|+\cdots$

如果(2)收敛, 则(1)肯定收敛, 且称为绝对收敛级数;如果(2)发散, 而(1)收敛, 则称(1)为条件收敛级数。
调和级数: $\sum \frac{1}{n}$ 发散, 而 $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ 收敛;
级数: $\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛:
$p$ 级数: $\sum \frac{1}{n^p} \quad \begin{aligned} & p \leq 1 \text { 时发散 } \\ & p>1 \text { 时收敛 }\end{aligned}$

### 幂级数:
$$
1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots \quad\left\{\begin{array}{l}
|x|<1 \text { 时, 收敛于 } \frac{1}{1-x} \\
|x| \geq \text { 时, 发散 }
\end{array}\right.
$$

对于级数(3) $a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n+\cdots$, 如果它不是仅在原点收敛, 也不是在全

求收敛半径的方法: 设 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho$, 其中 $a_n, a_{n+1}$ 是(3)的系数, 则 $\left\{\begin{array}{l}\rho \neq 0 \text { 时, } R=\frac{1}{\rho} \\ \rho=0 \text { 时, } R=+\infty \\ \rho=+\infty \text { 时, } R=0\end{array}\right.$

## 函数展开成幂级数:
函数展开成泰勒级数: $f(x)=f\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2 !}\left(x-x_0\right)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n !}\left(x-x_0\right)^n+\cdots$余项: $R_n=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_0\right)^{n+1}, f(x)$ 可以展开成泰勒级数的充要条件是: $\lim _{n \rightarrow \infty} R_n=0$ $x_0=0$ 时即为麦克劳林公式: $f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !} x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^n+\cdots$一些函数展开成市级数:
$$
\begin{aligned}
& (1+x)^m=1+m x+\frac{m(m-1)}{2 !} x^2+\cdots+\frac{m(m-1) \cdots(m-n+1)}{n !} x^n+\cdots \quad(-1<x<1) \\
& \sin x=x-\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^5}{5 !}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1) !}+\cdots \quad(-\infty<x<+\infty)
\end{aligned}
$$

### 欧拉公式:
$$
e^{i x}=\cos x+i \sin x \text { 或 }\left\{\begin{array}{l}
\cos x=\frac{e^{i x}+e^{-i x}}{2} \\
\sin x=\frac{e^{i x}-e^{-i x}}{2}
\end{array}\right.
$$

### 三角级数:
$$
f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin \left(n \omega t+\varphi_n\right)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)
$$

其中, $a_0=a A_0, a_n=A_n \sin \varphi_n, b_n=A_n \cos \varphi_n, \omega t=x$ 。
正交性: $1, \sin x, \cos x, \sin 2 x, \cos 2 x \cdots \sin n x, \cos n x \cdots$ 任意两个不同项的乘积在 $[-\pi, \pi]$上的积分 $=0$ 。

### 傅立叶级数:
$$
\begin{aligned}
& f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right) \text {, 周期 }=2 \pi \\
& \text { 其中 } \begin{cases}a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos n x d x & (n=0,1,2 \cdots) \\
b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin n x d x & (n=1,2,3 \cdots)\end{cases} \\
& \left.\begin{array}{l}
1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{8} \\
\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{24}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}(\text { 相加) } \\
1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{12}(\text { 相减) }
\end{array}\right. \\
&
\end{aligned}
$$

正弦级数: $a_n=0, b_n=\frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \sin n x d x \quad n=1,2,3 \cdots \quad f(x)=\sum b_n \sin n x$ 是奇函数
余弦级数: $b_n=0, a_n=\frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \cos n x d x \quad n=0,1,2 \cdots \quad f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum a_n \cos n x$ 是偶函数

### 周期为 $2 l$ 的周期函数的傅立叶级数:
$$
\begin{aligned}
& f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos \frac{n \pi x}{l}+b_n \sin \frac{n \pi x}{l}\right) \text {, 周期 }=2 l \\
& \text { 其中 } \begin{cases}a_n=\frac{1}{l} \int_{-1}^1 f(x) \cos \frac{n \pi x}{l} d x & (n=0,1,2 \cdots) \\
b_n=\frac{1}{l} \int_{-1}^1 f(x) \sin \frac{n \pi x}{l} d x & (n=1,2,3 \cdots)\end{cases}
\end{aligned}
$$

## 微分方程的相关概念:
一阶微分方程: $y^{\prime}=f(x, y)$ 或 $P(x, y) d x+Q(x, y) d y=0$
可分离变量的微分方程: 一阶微分方程可以化为 $g(y) d y=f(x) d x$ 的形式, 解法:
$\int g(y) d y=\int f(x) d x$ 得: $G(y)=F(x)+C$ 称为隐式通解。
齐次方程: 一阶微分方程可以写成 $\frac{d y}{d x}=f(x, y)=\varphi(x, y)$, 即写成 $\frac{y}{x}$ 的函数, 解法:
设 $u=\frac{y}{x}$, 则 $\frac{d y}{d x}=u+x \frac{d u}{d x}, u+\frac{d u}{d x}=\varphi(u), \therefore \frac{d x}{x}=\frac{d u}{\varphi(u)-u}$ 分离变量, 积分后将 $\frac{y}{x}$ 代替 $u$,即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程:
1、一阶线性微分方程: $\frac{d y}{d x}+P(x) y=Q(x)$
$\left\{\begin{array}{l}\text { 当 } Q(x)=0 \text { 时, 为齐次方程, } y=C e^{-\int P(x) d x} \\ \text { 当 } Q(x) \neq 0 \text { 时, 为非齐次方程, } y=\left(\int Q(x) e^{\int P(x) d x} d x+C\right) e^{-\int P(x) d x}\end{array}\right.$
2、贝努力方程: $\frac{d y}{d x}+P(x) y=Q(x) y^n,(n \neq 0,1)$
全微分方程:
如果 $P(x, y) d x+Q(x, y) d y=0$ 中左端是某函数的全微分方程, 即:
$d u(x, y)=P(x, y) d x+Q(x, y) d y=0$, 其中: $\frac{\partial u}{\partial x}=P(x, y), \frac{\partial u}{\partial y}=Q(x, y)$
$\therefore u(x, y)=C$ 应该是该全微分方程的通解。
二阶微分方程:
$\frac{d^2 y}{d x^2}+P(x) \frac{d y}{d x}+Q(x) y=f(x),\left\{\begin{array}{l}f(x) \equiv 0 \text { 时为齐次 } \\ f(x) \neq 0 \text { 时为非齐次 }\end{array}\right.$
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:
() $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0$, 其中 $p, q$ 为常数:
求解步㵵:
1、写出特征方程: $(\Delta) r^2+p r+q=0$, 其中 $r^2, r$ 的系数及常数项恰好是()式中 $y^{\prime \prime}, y^{\prime}, y$ 的系数;
2、求出 $(\Delta)$ 式的两个根 $r_1, r_2$

3、根据  $r_1, r_2 $ 的不同情况, 按下表写出( )式的通解: 
$$
\begin{aligned}
&\begin{array}{|l|l|}
\hline r_1, r_2 \text { 的形式 } & \text { ( )式的通解 } \\
\hline \text { 两个不相等实根 }\left(p^2-4 q>0\right) & y=c_1 e^{2 x}+c_2 e^{2 x} \\
\hline \text { 两个相等实根 }\left(p^2-4 q=0\right) & y=\left(c_1+c_2 x\right) e^{n x} \\
\hline \text { 一对共较复根 }\left(p^2-4 q<0\right) & y=e^{a x}\left(c_1 \cos \beta x+c_2 \sin \beta x\right) \\
r_1=\alpha+i \beta, \quad r_2=\alpha-i \beta \\
\alpha=-\frac{p}{2}, \quad \beta=\frac{\sqrt{4 q-p^2}}{2} & \\
\hline
\end{array}
\end{aligned}
$$

## 二阶常系数非齐次线性微分方程
$$
\begin{aligned}
& y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=f(x), p, q \text { 为常数 } \\
& f(x)=e^{\lambda x} P_m(x) \text { 型, } \lambda \text { 为常数; } \\
& f(x)=e^{\lambda x}\left[P_l(x) \cos \omega x+P_n(x) \sin \omega x\right] \text { 型 }
\end{aligned}
$$

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