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复习6:二重与三重积分
日期:
2024-03-30 20:51
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复习6:二重与三重积分
## 二重积分 (1) 选择坐标系 直角坐标系下的二重积分表示: $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$. 极坐标系下的二重积分表示: $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\iint_D f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta$. (2) 二重积分的化简 (1) 如果积分区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称, 则二重积分 $$ \iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma= \begin{cases}0, & f(x,-y)=-f(x, y), \\ 2 \iint_{D_1} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, & f(x,-y)=f(x, y) .\end{cases} $$ 其中, $D_1$ 为 $D$ 在 $y \geq 0$ 的部分. (2) 如果积分区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称, 则二重积分 $$ \iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma= \begin{cases}0, & f(-x, y)=-f(x, y), \\ 2 \iint_{D_1} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, & f(-x, y)=f(x, y) .\end{cases} $$ 其中, $D_1$ 为 $D$ 在 $x \geq 0$ 的部分. (3) 如果 $D$ 关于直线 $y=x$ 对称, 则 $$ \iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\iint_D f(y, x) \mathrm{d} \sigma=\frac{1}{2} \iint_D(f(x, y)+f(y, x)) \mathrm{d} \sigma . $$ ## 三重积分 (1) 选择坐标系 直角坐标系下的三重积分表示: $$ \begin{aligned} & \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v=\iint_{D_\pi} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)} f(x, y, z) \mathrm{d} z \text { (先一后二) } \\ & \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v=\int_c^d \mathrm{~d} z \iint_{D_z} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \text { (先二后一) } \end{aligned} $$ 柱坐标系下的三重积分表示: $$ \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v=\iiint_{\Omega} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta $$ 球坐标系下的三重积分表示: $$ \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v=\iiint_{\Omega} f(r \sin \varphi \cos \theta, r \sin \varphi \sin \theta, r \cos \varphi) r^2 \sin \varphi \mathrm{d} r \mathrm{~d} \varphi \mathrm{d} \theta . $$ (2) 三重积分的化简 (1) 若 $\Omega$ 关于 $x O y$ 面对称 $$ \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v= \begin{cases}0, & f(x, y,-z)=-f(x, y, z), \\ 2 \iiint_{\Omega_1} f(x, y, z) \mathrm{d} v, & f(x, y,-z)=f(x, y, z) .\end{cases} $$ 其中 $\Omega_1$ 是 $\Omega$ 在 $x O y$ 面上方部分, 关于 $y O z, x O z$ 面的对称性有类似的性质. (2) 轮换对称性 如果积分区域关于变量 $x, y, z$ 具有轮换对称性 (即将表示积分区域的方程 $x$ 换成 $y$, $y$换成 $z$ 或 $z$ 换成 $x$ 后表达式不变), 则 $$ \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v=\iiint_{\Omega} f(y, x, z) \mathrm{d} v=\iiint_{\Omega} f(z, x, y) \mathrm{d} v . $$ ## 第一类曲线积分 ### 曲线积分化为定积分 (1) 若曲线 $L: y=\varphi(x), a \leq x \leq b$, 则 (1) 第一类曲线积分 $$ \int_L f(x, y) \mathrm{d} s=\int_a^b f[x, \varphi(x)] \sqrt{1+\left[\varphi^{\prime}(x)\right]^2} \mathrm{~d} x $$ (2) 第二类曲线积分 $$ \int_L P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_a^b\left\{P[x, \varphi(x)]+Q[x, \varphi(x)] \varphi^{\prime}(x)\right\} \mathrm{d} x . $$ (2) 若曲线 $L: x=x(t), y=y(t), z=z(t)\left\{\begin{array}{ll}a \leqslant t \leqslant \beta & \text { (第一类) } \\ t \text { 从 } \alpha \text { (起点)到 } \beta \text { (终点) } & \text { (第二类) }\end{array}\right.$ 段滑, 被积函数连续, 则 (1) 第一类曲线积分 $$ \int_L f(x, y, z) \mathrm{d} s=\int_a^\beta f[x(t), y(t), z(t)] \sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)+z^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t . $$ (2) 第二类曲线积分 $$ \int_C P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z=\int_a^\beta\left[P(x(t), y(t), z(t)) x^{\prime}(t)+Q(x(t), y(t), z(t)) y^{\prime}(t)+R(x(t), y(t), z(t)) z^{\prime}(t)\right] \mathrm{d} t . $$ ### 第一类曲线积分的化简 (1) 若 $L$ 关于 $y$ 轴对称, 则 $$ \int_L f(x, y) \mathrm{d} s= \begin{cases}0, & \text { 若 } f(-x, y)=-f(x, y), \\ 2 \int_{L_1} f(x, y) \mathrm{d}, & \text { 若 } f(-x, y)=f(x, y) .\end{cases} $$ 其中 $L_1$ 是 $L$ 在 $x$ 轴右方的部分; (2)若 $L$ 关于 $x$ 轴对称, 则 $$ \int_L f(x, y) \mathrm{d} s= \begin{cases}0, & \text { 若 } f(x,-y)=-f(x, y), \\ 2 \int_{L_4} f(x, y) \mathrm{d} s, & \text { 若 } f(x,-y)=f(x, y) .\end{cases} $$ 其中 $L_1$ 是 $L$ 在 $y$ 轴上方的部分。 (3)轮换对称性 如果积分区域郑于变量 $x, y$ 具有轮换对称性 (即 $x$ 换成 $y, y$ 换成 $z$ ,其表达式不变), 则 $$ \int_L f(x, y) \mathrm{d} s=\int_L f(y, x) \mathrm{d} s=\frac{1}{2} \int_L[f(x, y)+f(y, x)] \mathrm{d} s . $$ ### 第一类曲面积分化为二重积分 $S: z=z(x, y),(x, y) \in D_{x y}$ 分块光滑, $f(x, y, z)$ 在 $S$ 上连续, 则 $$ \iint_S f(x, y, z) \mathrm{d} S=\iint_{D_{y y}} f[x, y, z(x, y)] \sqrt{1+z_z^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}} \mathrm{~d} \sigma . $$ 向其余两个帋标面投影类似. ## 第二类曲线积分 ### 第二类曲面积分化为重积分 (1) 若 $S: z=z(x, y),(x, y) \in D_{x y}$ 分块光滑, $P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)$ 连续, 则 $\iint_S P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y= \pm \iint_{D_\pi}\left[P(x, y, z)\left(-\frac{\partial z}{\partial x}\right)+Q(x, y, z)\left(-\frac{\partial z}{\partial y}\right)+R(x, y, z)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 上式中, 曲面 $S$ 的方向为上侧时取 " + " , $S$ 的方向为下侧时取 " - ” (2) 若 $S: y=y(x, z),(x, z) \in D_{x=}$ 分块光滑, $P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)$ 连续, 则 $\iint_S P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y= \pm \iint_{D_s}\left[P(x, y, z)\left(-\frac{\partial y}{\partial x}\right)+Q(x, y, z)+R(x, y, z)\left(-\frac{\partial y}{\partial z}\right)\right] \mathrm{d} z \mathrm{~d} x$, 上式中,曲面 $S$ 的方向为右侧取 “+”, $S$ 的方向为左侧取 “-” (3) 若 $S: x=x(y, z),(y, z) \in D_5$ 分块光滑, $P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)$ 连续, 则 $\iint_S P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y= \pm \iint_{D_z}\left[P(x, y, z)+Q(x, y, z)\left(-\frac{\partial x}{\partial y}\right)+R(x, y, z)\left(-\frac{\partial x}{\partial z}\right)\right] \mathrm{d} y \mathrm{~d} z$, 上式中, 曲面 $S$ 的方向为前侧取 “+ ", $S$ 的方向为后侧取 “- ” .
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