日期: 2024-03-31 20:55 查看: 6 次编辑导出本文

复习7:多元积分的应用

### 求曲顶柱体的体积

如果 $\Omega$ 的底面在坐标平面上, 则 $\Omega$ 的体积为   
$$
V=\iiint_{\Omega} 1 \mathrm{~d} v,
$$
或 $V=\iint_D|z(x, y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 
其中 $D$ 是 $\Omega$ 在 $x O y$ 面上的投影.

### 空间曲面的面积
设曲面 $S$ 由方程 $z=f(x, y)$ 给出, $D_{x y}$ 为曲面 $S$ 在 $x O y$ 面上的投影区域, 函数 $f(x, y)$ 在 $D_{x y}$ 上具有连续偏导数 $f_x(x, y)$ 和 $f_y(x, y)$, 则曲面面积
$$
A=\iint_{D_y} \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$

### 质心
设平面薄片 $D$ 的面密度为 $\rho(x, y)$, 假定 $\rho(x, y)$ 在 $D$ 上连续, 薄片的质心坐标 $(\bar{x}, \bar{y})$ 为
$$
\bar{x}=\frac{\iint_D x \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_D \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}, \bar{y}=\frac{\iint_D y \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_D \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma} .
$$
设空间立体 $\Omega$ 的体密度为 $\rho(x, y, z)$, 假定 $\rho(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上连续, 该立体的质心坐 标 $(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})$ 为
$$
\bar{x}=\frac{\iiint_{\Omega} x \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}, \bar{y}=\frac{\iiint_{\Omega} y \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}, \bar{z}=\frac{\iiint_{\Omega} z \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v} .
$$

### 转动惯量
设薄片 $D$ 的面密度为 $\rho(x, y)$, 假定 $\rho(x, y)$ 在 $D$ 上连续. 该薄片对于 $x$ 轴、 $y$ 轴 的转动惯量为 $I_x, I_y$, 则
$$
I_x=\iint_D y^2 \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma, I_y=\iint_D x^2 \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma .
$$
        
体 $\Omega$ 的体密度为 $\rho(x, y, z)$, 假定 $\rho(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上连续, 该立体对 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴的转动惯量为 $I_x, I_y, I_z$, 则
$$
I_x=\iiint_{\Omega}\left(y^2+z^2\right) \rho(x, y, z) \mathrm{d} v, I_y=\iiint_{\Omega}\left(x^2+z^2\right) \rho(x, y, z) \mathrm{d} v, I_z=\iiint_{\Omega}\left(x^2+y^2\right) \rho(x, y, z) \mathrm{d} v .
$$

### 空间物体对质点的引力
设物体占有空间区域 $\Omega$, 在点 $(x, y, z)$ 处的密度为 $\rho(x, y, z) ， \Omega$ 外有一质点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$, 其质量为 $m_0$, 假定 $\rho(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上连续, 则物体对质点的引力为 $\boldsymbol{F}=\left\{F_x, F_y, F_z\right\}$, 其中
$$
\begin{aligned}
& F_x=\iiint_{\Omega} \frac{G m_0 \rho(x, y, z)\left(x-x_0\right)}{\left[\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+\left(z-z_0\right)^2\right]^{3 / 2}} \mathrm{~d} v, \\
& F_y=\iiint_{\Omega} \frac{G m_0 \rho(x, y, z)\left(y-y_0\right)}{\left[\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+\left(z-z_0\right)^2\right]^{3 / 2}} \mathrm{~d} v, \\
& F_z=\iiint_{\Omega} \frac{G m_0 \rho(x, y, z)\left(z-z_0\right)}{\left[\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+\left(z-z_0\right)^2\right]^{3 / 2}} \mathrm{~d} v .
\end{aligned}
$$
$G$ 为引力常数.

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