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万能公式

## 万能公式

万能公式的意思是任何一个三角函数，都可以使用 $ \tan \dfrac{a}{2} $ 表示

![pic](../uploads/2022-10/2ccd27.jpg)

因为三角函数公式很多，利用万能公式，并令 $  x =\tan \dfrac{a}{2} $ ，这样可以把三角函数转换为普通的函数进行处理。

定理
若 $\alpha \neq(2 k+1) \pi \quad(k \in \mathbb{Z})$, 则 $\sin \alpha, \cos \alpha$ 和 $\tan \alpha$ 可以表示成 $\tan \frac{\alpha}{2}$的有理式, 即:
$$
\begin{aligned}
\sin \alpha & =\frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1+\tan ^2 \frac{\alpha}{2}} \\
\cos \alpha & =\frac{1-\tan ^2 \frac{\alpha}{2}}{1+\tan ^2 \frac{\alpha}{2}} \\
\tan \alpha & =\frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1-\tan ^2 \frac{\alpha}{2}}
\end{aligned}
$$

证明: 根据倍角公式有:
$$
\begin{aligned}
& \sin \alpha=2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \\
& \cos \alpha=\cos ^2 \frac{\alpha}{2}-\sin ^2 \frac{\alpha}{2}
\end{aligned}
$$

或者
$$
\sin \alpha=\frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{\cos ^2 \frac{\alpha}{2}+\sin ^2 \frac{\alpha}{2}}, \quad \cos \alpha=\frac{\cos ^2 \frac{\alpha}{2}-\sin ^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos ^2 \frac{\alpha}{2}+\sin ^2 \frac{\alpha}{2}}
$$

上面两个等式的分母恒等于 1 , 因为 $\alpha \neq \pi+2 k \pi$, 则 $\frac{\alpha}{2} \neq \frac{\pi}{2}+k \pi(k \in \mathbb{Z})$, 因而 $\cos \frac{\alpha}{2} \neq 0$.
上两式右边的分子、分母同除以 $\cos ^2 \frac{\alpha}{2} \neq 0$, 得
$$
\sin \alpha=\frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1+\tan ^2 \frac{\alpha}{2}}, \quad \cos \alpha=\frac{1-\tan ^2 \frac{\alpha}{2}}{1+\tan ^2 \frac{\alpha}{2}}
$$

这两个式子相除就得到
$$
\tan \alpha=\frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1-\tan ^2 \frac{\alpha}{2}}
$$

例 1.19 已知 $\cot \alpha=-2,90^{\circ}<\alpha<180^{\circ}$,求 $\sin 2 \alpha, \cos 2 \alpha$.

解：因为 $\cot \alpha=-2,90^{\circ}<\alpha<180^{\circ}$, 所以 $\tan \alpha=-\frac{1}{2}$
$$
\begin{aligned}
& \sin 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1+\tan ^2 \alpha}=\frac{2\left(-\frac{1}{2}\right)}{1+\left(-\frac{1}{2}\right)^2}=-\frac{4}{5} \\
& \cos 2 \alpha=\frac{1-\tan ^2 \alpha}{1+\tan ^2 \alpha}=\frac{1-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{3}{5}
\end{aligned}
$$

例 1.20 求证: $\frac{\cos A}{\cot \frac{A}{2}-\tan \frac{A}{2}}=\frac{1}{2} \sin A$
证明:
$$
\begin{aligned}
\text { 左边 } & =\frac{\tan \frac{A}{2} \cdot \cos A}{1-\tan ^2 \frac{A}{2}} \\
& =\frac{1}{2} \tan A \cdot \cos A \\
& =\frac{1}{2} \sin A=\text { 右边 }
\end{aligned}
$$

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