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一般二元二次方程的讨论

> 注意：本节内容涉及更高学科《线性代数》里关于二次型的内容，仅供了解，详见 [二次型](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=500)
## 在坐标变换下二元二次方程系数的变换
一般二元二次方程可写为如下形式
$$
A x^2+2 B x y+C y^2+2 D x+2 E y+F=0
$$

方程的系数 $A 、 B 、 C$ 中至少有一个不等于零, 系数中析出因子 2 , 是为了以后演算的方便. 凡坐标满足方程 $(6.28)$ 的点的轨迹叫做二次曲线.
对方程 $(6.28)$, 我们进行平移和旋转变换, 令
$$
\begin{aligned}
& x=x^{\prime} \cos \theta-y^{\prime} \sin \theta+h \\
& y=x^{\prime} \sin \theta+y^{\prime} \cos \theta+k
\end{aligned}
$$

代入 (6.28) 式, 展开合并同类项, 就得到同一个二次曲线在 $O^{\prime} X^{\prime} Y^{\prime}$ 坐标系中的方程为
$$
A^{\prime} x^{\prime 2}+2 B^{\prime} x^{\prime} y^{\prime}+C^{\prime} y^{\prime 2}+2 D^{\prime} x^{\prime}+2 E^{\prime} y^{\prime}+F^{\prime}=0
$$

其中
$$
\begin{aligned}
A^{\prime}= & A \cos ^2 \theta+2 B \sin \theta \cos \theta+C \sin ^2 \theta \\
2 B^{\prime}= & -2 A \sin \theta \cos \theta+2 B\left(\cos ^2 \theta-\sin ^2 \theta\right)+2 C \sin \theta \cos \theta \\
= & 2 B \cos 2 \theta-(A-C) \sin 2 \theta \\
C^{\prime}= & A \sin ^2 \theta-2 B \cos \theta \sin \theta+C \cos ^2 \theta \\
D^{\prime}= & 2 A h \cos \theta+2 B(k \cos \theta+h \sin \theta)+2 C k \sin \theta \\
& +2 D \cos \theta+2 E \sin \theta \\
E^{\prime}= & -2 A h \sin \theta+2 B(h \cos \theta-k \sin \theta)+2 C k \cos \theta \\
& \quad-2 D \sin \theta+2 E \cos \theta \\
F^{\prime}= & A h^2+2 B h k+C k^2+2 D h+2 E k+F
\end{aligned}
$$

上述关系式 (6.30), 骤看起来是有些繁琐的, 但稍加分析我们不难看出以下几点:
1.一般二元二次方程，经坐标变换后，仍是二元二次方程，这就是说，上述二次曲线的定义与坐标系的选取无关

2 在 $(6.30)$ 中, 令 $h=k=0$, 也就是坐标系只作旋转变换, 这时二次项系数和一次项系数一般都发生改变, 而常数项不变. 新方程 (6.29) 中的二次项系数 $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ 只与原方程 $(6.28)$ 中二次项系数和转角 $\theta$ 有关, 而与原方程中的一次项系数和常数无关; 新方程 (6.29) 中一次项系数只与原方程 $(6.28)$ 中一次项系数及转角有关, 而与二次项系数和常数无关.
3 在 $(6.30)$ 中, 令 $\theta=0$, 也就是坐标系只作平移变换, 这时二次项系数不变, 
即
$$
A=A^{\prime}, \quad B=B^{\prime}, \quad C=C^{\prime}
$$

而一次项系数和常数项一般都要改变, 且
$$
\begin{aligned}
& D^{\prime}=2 A h+2 B k+2 D \\
& E^{\prime}=2 B h+2 C k+2 E
\end{aligned}
$$

最后让我们来证明, 在一般坐标变换下, 新方程 (6.29) 与原方程 (6.28) 的系数有如下关系:
1. $A+C=A^{\prime}+C^{\prime}$
2. $B^2-A C=B^{\prime 2}-A^{\prime} C^{\prime}$

证明:
1.
$$
\begin{aligned}
A^{\prime}+C^{\prime}= & A \cos ^2 \theta+2 B \sin \theta \cos \theta+C \sin ^2 \theta+A \sin ^2 \theta \\
& -2 B \sin \theta \cos \theta+C \cos ^2 \theta \\
= & A\left(\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta\right)+C\left(\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta\right) \\
= & A+C
\end{aligned}
$$
2.
$$
\begin{aligned}
A^{\prime}-C^{\prime} & =(A-C) \cos 2 \theta+2 B \sin 2 \theta \\
\left(2 B^{\prime}\right)^2+\left(A^{\prime}-C^{\prime}\right)^2 & =(2 B)^2+(A-C)^2
\end{aligned}
$$

即
$$
\begin{aligned}
B^{\prime 2}-A^{\prime} C^{\prime} & =\frac{1}{4}\left[(2 B)^2+(A-C)^2-\left(A^{\prime}+C^{\prime}\right)^2\right] \\
& =\frac{1}{4}\left[(2 B)^2+(A-C)^2-(A+C)^2\right] \\
& =B^2-A C
\end{aligned}
$$

由以上证明可知， $A+C$和$B^2-AC$都是二元二次方程在一般坐标变换下不变的量

## 一般二元二次方程的化简
这节, 我们来研究, 如何选取适当的坐标系, 使二次曲线的方程有较简单的形式.
（一）用平移变换消去二元二次方程中各一次项
由 (6.31) 式可知, 对一般二元二次方程, 若要在新坐标系中消去各一次项,只要作平移变换选取 $(h, k)$ 使
$$
\left\{\begin{array}{l}
A h+B k+D=0 \\
B h+C k+E=0
\end{array}\right.
$$

在 $B^2-A C \neq 0$ 时, 此方程组有唯一一组解 $(h, k)$, 我们将坐标原点移到 $(h, k)$,就可使二次曲线在新坐标系中的方程中 $D^{\prime}=E^{\prime}=0$. 在 $B^2-A C=0$ 时, 若 $A: B=B: C=D: E$, 方程组有无穷多解, 若 $A: B=B: C \neq D: E$, 方程组无解, 在后一种情况出现时, 我们可先用下面 (二) 中介绍的方法去化简方程.

例 6.20 平移坐标轴, 化简方程 $2 x^2+3 y^2-8 x+6 y-7=0$ 并画出新坐标系和方程的曲线.

解: 令 $x=x^{\prime}+h, y=y^{\prime}+k$, 代入已知方程, 得
$$
2\left(x^{\prime}+h\right)^2+3\left(y^{\prime}+k\right)^2-8\left(x^{\prime}+h\right)+6\left(y^{\prime}+k\right)-7=0
$$
就是,
$$
2 x^{\prime 2}+3 y^{\prime 2}+(4 h-8) x^{\prime}+(6 k+6) y^{\prime}+2 h^2+3 k^2-8 h+6 k-7=0
$$

令 $4 h-8=0,6 k+6=0$, 解得 $h=2, k=-1$, 代入方程 (6.28), 得
$$
2 x^{\prime 2}+3 y^{\prime 2}=18 \quad \Rightarrow \quad \frac{x^{\prime 2}}{9}+\frac{y^{\prime 2}}{6}=1
$$

这是椭圆的标准方程, 对原坐标系来说, 它的中心在 $O^{\prime}(2,-1)$, 它的长轴和短轴分别在直线 $y=-1, x=2$ 上, 它的长轴长是 6 , 短轴长是 $2 \sqrt{6}$. 新坐标和曲线如图 6.34 所示.

![图片](/uploads/2024-05/43824d.jpg)
 例 6.21 平移坐标轴, 化简方程 $3 x^2-4 y^2+6 x+24 y-57=0$ 并画出新坐标系和方程的曲线.

解: 把已知方程按 $x, y$ 配方, 得
$$
3(x+1)^2-4(y-3)^2=24
$$

令 $x^{\prime}=x+1, y^{\prime}=y-3$, 代入上面方程, 得:
$$
3 x^{\prime 2}-4 y^{\prime 2}=24 \Rightarrow \frac{x^{\prime 2}}{8}-\frac{y^{\prime 2}}{6}=1
$$

这是双曲线的标准方程, 新坐标系和曲线如图 6.35 所示.

(二) 用旋转变换, 消去 $(6.28)$ 中的 $x y$ 项
由关系式 (6.30), 对一般二元二次方程, 若要在新坐标系中使得方程不含 $x^{\prime} y^{\prime}$ 项, 只要选取 $\theta$ 角, 使
$$
2 B=2 B \cos 2 \theta-(A-C) \sin \theta=0
$$

即
$$
\cot 2 \theta=\frac{A-C}{2 B}, \quad\left(0<\theta<\frac{\pi}{2}\right)
$$

把坐标轴旋转由上式所决定的 $\theta$ 角, 就可使二次曲线在新坐标系中的方程不含 $x^{\prime} y^{\prime}$ 项.

例 6.22 利用坐标轴旋转化简二次方程 $8 x^2+4 x y+5 y^2-36=0$ 并画出它的图形.

解:
$$
\cot 2 \theta=\frac{A-C}{2 B}=\frac{8-5}{4}=\frac{3}{4}
$$

由于 $\cos 2 \theta$ 与 $\cot 2 \theta$ 同号, 所以
$$
\begin{aligned}
\cos 2 \theta & =\frac{\frac{3}{4}}{\sqrt{1+\left(\frac{3}{4}\right)^2}}=\frac{3}{5} \\
\sin \theta & =\sqrt{\frac{1-\frac{3}{5}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}} \\
\cos \theta & =\sqrt{\frac{1+\frac{3}{5}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}
\end{aligned}
$$

因此, 可令旋转变换为
$$
x=\frac{2}{\sqrt{5}} x^{\prime}-\frac{1}{\sqrt{5}} y^{\prime}, \quad y=\frac{1}{\sqrt{5}} x^{\prime}+\frac{2}{\sqrt{5}} y^{\prime}
$$

代入原方程化简, 得
$$
9 x^{\prime 2}+4 y^{\prime 2}=36
$$

这是一个椭圆, 长轴在 $Y^{\prime}$ 轴上.
根据 $\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{5}}$, 得旋转角 $\theta \approx 26^{\circ} 34^{\prime}$, 它的图形如图 6.36 所示.
 ![图片](/uploads/2024-05/7a6ec3.jpg)
 
 
 ## 三、一般二元二次方程的讨论
由前节可知, 一些二元二次方程, 经一般坐标变换后可化为圆锥曲线的标准方程, 这节我们对二元二次方程作一般性的讨论, 看看如何根据二次曲线的方程来判断它的形状和位置.
给定二次曲线
$$
A x^2+2 B x y+C y^2+2 D x+2 E y+F=0
$$

我们总可通过转轴, 选取适当的坐标系 $O X^{\prime} Y^{\prime}$, 使二次曲线的方程在这个新系中不含 $x^{\prime} y^{\prime}$ 项, 由于转轴后方程 (6.32) 中的常数项不变, 新方程可写为
$$
A^{\prime} x^{\prime 2}+C^{\prime} y^{\prime 2}+2 D^{\prime} x^{\prime}+2 E^{\prime} y^{\prime}+F=0
$$

下面分两种情况讨论:
1. $A^{\prime} 、 C^{\prime}$ 都不等于零 (即 $A^{\prime} C^{\prime} \neq 0$ ). 再作平移变换, 消去一次项, 由于移轴后方程 (6.33) 中的二次项系数不变, 所以新方程可写为
$$
A^{\prime} x^{\prime \prime 2}+C^{\prime} y^{\prime \prime 2}+F^{\prime}=0
$$

我们再分两种情况:
(a) $A^{\prime} 、 C^{\prime}$ 同号 (即 $A^{\prime} C^{\prime}>0$ ). 当 $F^{\prime} \neq 0$, 且 $A^{\prime} 、 C^{\prime}$ 与 $F^{\prime}$ 异号时, 方程的图象是椭圆; 当 $F^{\prime} \neq 0$ 且 $A^{\prime} 、 C^{\prime}$ 与 $F^{\prime}$ 同号时, 显然没有点的坐标满足方程 (6.34), 因此, 方程的图象不存在; 当 $F^{\prime}=0$, 且 $A^{\prime}$ 、 $C^{\prime}$ 同号时, 显然方程的图象只有一点.
(b) $A^{\prime} 、 C^{\prime}$ 异号 (即 $A^{\prime} C^{\prime}<0$ ). 当 $F^{\prime} \neq 0$ 时, 方程 $(6.32)$ 的轨迹是双曲线; 当 $F^{\prime}=0$ 时, 方程 (6.34) 可分解为
$$
\left(x^{\prime \prime}+\sqrt{-\frac{C^{\prime}}{A^{\prime}}} y^{\prime \prime}\right) \cdot\left(x^{\prime \prime}-\sqrt{-\frac{C^{\prime}}{A^{\prime}}} y^{\prime \prime}\right)=0
$$

因此, 方程的轨迹是两条相交直线.
2. $A^{\prime} 、 C^{\prime}$ 中有一个为零 (即 $A^{\prime} C^{\prime}=0$ ). 设 $A^{\prime}=0$, 则方程 $(6.33)$ 变为
$$
C^{\prime} y^{\prime 2}+2 D^{\prime} x^{\prime}+2 E^{\prime} y^{\prime}+F=0
$$

作平移变换: 令 $x^{\prime \prime}=x^{\prime}, y=y^{\prime}+\frac{E^{\prime}}{C^{\prime}}$, 方程 $(6.35)$ 在新坐标系中的方程可写为
$$
C^{\prime} y^{\prime \prime 2}+2 D^{\prime} x^{\prime \prime}+F^{\prime}=0
$$

我们再分两种情况:
(a) $D^{\prime} \neq 0$, 这时方程的图象是抛物线.
(b) $D^{\prime}=0$, 当 $F^{\prime} \neq 0$ 且 $C^{\prime}$ 与 $F^{\prime}$ 异号, 方程 $(6.36)$ 变为
$$
y^{\prime \prime} \pm \sqrt{-\frac{F^{\prime}}{C^{\prime}}}=0
$$

这时方程的图象两条平行直线; 当 $F^{\prime} \neq 0$ 且 $C^{\prime}$ 与 $F^{\prime}$ 同号, 显然没有点的坐标满足方程, 这时方程 (6.32) 没有轨迹, 当 $F^{\prime}=0$ 时, 方程 $(6.36)$ 化为 $y^{\prime \prime}=0$, 这时方程 $(6.32)$ 表示两条重合的直线.

由以上讨论可知, 一般二次曲线或者是圆锥曲线 (椭圆、双曲线、抛物线),或者是两条直线 (包括重合情况), 或者是一个点, 或者不存在.

一般我们把情况 1 中的类型 (a) 叫做椭圆型方程, 类型 (b) 叫做双曲线型方程; 情况 2 中的类型叫做 抛物线型方程. 由于在方程 $(6.33)$ 中 $B^{\prime}=0$, 所以
$$
B^2-A C=B^{\prime 2}-A^{\prime} C^{\prime}=-A^{\prime} C^{\prime}
$$

这样, 上面情况 1 中的类型 (a) 的条件, $A^{\prime} 、 C^{\prime}$ 同号相当于 $B^2-A C<0$; $A^{\prime} 、 C^{\prime}$ 异号相当于 $B^2-A C>0$; 情况 2 中的条件 $A^{\prime} C^{\prime}$ 中有一个为零相当于 $B^2-A C=0$. 因此, 我们可不作坐标变换, 直接根据 $B^2-A C$ 来判别二次曲线的类型. $B^2-A C$ 叫做一般二元二次方程的判别式.
由判别式判别二次曲线的类型, 我们归纳为下表.
 ![图片](/uploads/2024-05/55da27.jpg)
 
 例 6.23 试判别下列方程的类型
1. $x^2-3 x y+2 y^2-x-5 y+3=0$
2. $9 x^2-6 x y+y^2-4=0$
3. $3 x^2-2 x y+y^2-5 x-2 y+34=0$

解:
1. $B^2-A C=\left(\frac{3}{2}\right)^2-1 \times 2=\frac{9}{4}-1>0$ 因此方程是双曲线型.
2. $B^2-A C=(-3)^2-9 \times 1=0$ 因此方程是抛物线型.
3. $B^2-A C=(-1)^2-3 \times 1=-2<0$ 因此方程是椭圆型.

例 6.24 判别方程 $3 x^2+12 x y+12 y^2+10 x+10 y-3=0$ 的类型, 并画出它的图形.
解: $B^2-A C=(6)^2-3 \times 12=0$, 因此方程是抛物线型. 作旋转变换
$$
\begin{aligned}
& \cot 2 \theta=\frac{3-12}{12}=-\frac{3}{4}, \quad \cos 2 \theta=\frac{-\frac{3}{4}}{\sqrt{1+\left(\frac{3}{4}\right)^2}}=-\frac{3}{5} \\
& \sin \theta=\frac{2}{\sqrt{5}}, \quad \cos \theta=\frac{1}{\sqrt{5}}, \quad \theta \approx 63^{\circ} 26^{\prime}
\end{aligned}
$$

旋转公式是
$$
x=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(x^{\prime}-2 y^{\prime}\right), \quad y=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(2 x^{\prime}+y^{\prime}\right)
$$

代入原方程，化简得
$$
15 x^{\prime 2}+6 \sqrt{5} x^{\prime}-2 \sqrt{5} y^{\prime}-3=0
$$

对 $x^{\prime}$ 配方, 方程可写为
$$
15\left(x^{\prime}+\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2=2 \sqrt{5}\left(y^{\prime}+\frac{3}{\sqrt{5}}\right)
$$

作平移变换, 令 $x^{\prime \prime}=x^{\prime}+\frac{1}{\sqrt{5}}, y^{\prime \prime}=y^{\prime}+\frac{3}{\sqrt{5}}$, 最后方程变为
$$
15 x^{\prime \prime 2}=2 \sqrt{5} y^{\prime \prime}
$$

这是一条抛物线 (图 6.37), 在 $O X^{\prime} Y^{\prime}$ 坐标系中, 它的顶点是 $O^{\prime}\left(-\frac{1}{\sqrt{5}},-\frac{3}{\sqrt{5}}\right)$ , 由旋转公式容易求得, 在原坐标系 $O X Y$ 中, 它的顶点是 $O^{\prime}(1,-1) . x^{\prime \prime}$ 轴是直线 $2 x-y-3=0, y^{\prime \prime}$ 轴是直线 $x+2 y+1=0$.
 ![图片](/uploads/2024-05/a20864.jpg)

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