日期: 2023-10-19 05:50 查看: 265 次编辑导出

利用导数求极值

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如图 1，若一个一元函数 $y=f(x)$ 在某区间内处处可导（即对区间内的任何 $x$ 导数 $f^{\prime}(x)$ 都存在），若区间内存在某些 $x_i$ 能使 $f^{\prime}\left(x_i\right)=0$ (即在这些点处函数曲线的斜率为零)，这样的点被称为驻点。
而从函数曲线来看，驻点又分为三类：极大值，极小值，鞍点。我们以 $x_i$ 为中心取一个小区间，如果这个区间足够小，那么容易看出对于极大值点， $f^{\prime}(x)$ 在小区间内递减，对于鞍点， $f^{\prime}(x)$ 在小区间内恒为非负或恒为非正，对于极小值点， $f^{\prime}(x)$ 在小区间内递增。所以为了判断驻点的类型，我们可以在驻点处求函数的二阶导数 $f^{\prime \prime}\left(x_i\right)$ 。假设二阶偏导存在，如果 $f^{\prime \prime}\left(x_i\right)<0$ ，那么 $x_i$ 是极大值点，如果 $f^{\prime \prime}\left(x_i\right)>0 ， x_i$ 是极小值点。要注意的是，如果 $f^{\prime \prime}\left(x_i\right)=0$ ，不能直接判断 $x_i$ 鞍点，需要进一步分析：例如我们可以判断驻点左边和右边的一阶导数符号，如果同号则是驻点，左正右负则是极大值，左负右正则是极小值。
另外，若某个极小值点是整个考察区间中函数值最小的点，它就被称为最小值点，若某个极大值点是该区间中函数值最大的点，它就被称为最大值点。

**例1**
二次函数 $f(x)=a x^2+b x+c$ 的导函数为 $f^{\prime}(x)=2 a x+b$ ，所以唯一的驻点为 $-b /(2 a)$ 。函数的二阶导数是一个常数 $f^{\prime \prime}(x)=2 a$ ，所以当 $a>0$ 时驻点是唯一的极小值点，即最小值点。同理，当 $a<0$ 时驻点是最大值点。

**例 2**
函数 $f(x)=x+a / x(a>0)$ 的一阶导函数为 $f^{\prime}(x)=1-a / x^2$ ，若我们只考察区间 $(0,+\infty)$ ，唯一的驻点为 $x=\sqrt{a}$ 。函数的二阶导函数 $f^{\prime \prime}(x)=2 a / x^3$ 在驻点处的值为 $2 / \sqrt{a}>0$, 所以该驻点为当前区间的最小值点 (图 2 )。
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**例 3**
函数 $f(x)=x^3$ 的一阶导函数为 $f^{\prime}(x)=3 x^2$ ，唯一的驻点为 $x=0$ 。 函数的二阶导函数 $f^{\prime \prime}(x)=6 x$ 在驻点处的值为 0 。由于 $f^{\prime}(x)$ 在原点左侧和右侧都大于 0 ，所以这是一个鞍点。

*科数网提供有在线函数功能，可以通过计算机模拟曲线，详情见  [https://kmath.cn/func](https://kmath.cn/func),  判断函数凸凹性见 https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=149

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