复合函数求导

日期: 2023-11-05 21:58 查看: 14 次更新导出Word

如果在 $f(u)=\sin u$ 中, 令 $u=g(x)=2 x$, 则有

$$
f(g(x))=\sin (g(x))=\sin 2 x=h(x) .
$$

另一方面, 因为 $h(x)=\sin 2 x=2 \sin x \cos x$, 所以

$$
\begin{aligned}
h^{\prime}(x) & =(2 \sin x \cos x)^{\prime} \\
& =2(\sin x)^{\prime} \cos x+2 \sin x(\cos x)^{\prime} \\
& =2 \cos ^2 x-2 \sin ^2 x \\
& =2 \cos 2 x .
\end{aligned}
$$

又因为 $f^{\prime}(u)=\cos u, g^{\prime}(x)=2$, 所以

$$
h^{\prime}(x)=f^{\prime}(g(x)) g^{\prime}(x) .
$$

一般地, 如果函数 $y=f(u)$ 与 $u=g(x)$ 的复合函数为

$$
y=h(x)=f(g(x)),
$$

则可以证明, 复合函数的导数 $h^{\prime}(x)$ 与 $f^{\prime}(u), g^{\prime}(x)$ 之间的关系为

$$
h^{\prime}(x)=[f(g(x))]^{\prime}=f^{\prime}(u) g^{\prime}(x)=f^{\prime}(g(x)) g^{\prime}(x) .
$$

这一结论也可以表示为

$$
y_x^{\prime}=y_u^{\prime} u_x^{\prime} .
$$

事实上, 设 $x$ 的改变量为 $\Delta x$, 对应的 $u, y$ 的改变量分别为 $\Delta u, \Delta y$,则形式上我们有 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}$, 从而

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta u \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta u}{\Delta x},
$$

即 $y_x^{\prime}=y_u^{\prime} u_x^{\prime}$.
我们平常接触到的函数, 很多都可以看成复合函数, 因此也就能借助上述复合函数的求导法则去求导数. 例如, $h(x)=(3 x-1)^2$ 可以看成 $f(u)=$ $u^2$ 与 $u=g(x)=3 x-1$ 的复合函数, 又因为

$$
f^{\prime}(u)=2 u, g^{\prime}(x)=3,
$$

所以

$$
h^{\prime}(x)=f^{\prime}(u) g^{\prime}(x)=2 u \times 3=6 u=6(3 x-1)=18 x-6 \text {. }

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