分式

日期: 2023-10-12 20:44 查看: 39 次更新导出Word

**一、分式**
1.分式的概念:
一般地, 如果 $A 、 B$ 都表示整式, 且 $B$ 中含有 字母, 那么称 $\frac{A}{B}$ 为分式. 其中 $A$ 叫做分式的分子, $B$ 为分式的分母.
2. 分式有意义的条件:
对于分式 $\frac{A}{B}$ : 当 $\mathrm{B} \neq 0$ 时分式有意义;
当 $B=0$ 时无意义.

3. 分式值为零的条件:
   当 $A=0$ 且 $B \neq 0$ 时, 分式 $\frac{A}{B}$ 的值为零.
4. 分式的基本性质:

$$
\frac{A}{B}=\frac{A \cdot C}{B \cdot C}, \frac{A}{B}=\frac{A \div C}{B \div C}(C \neq 0) .
$$

5.分式的约分：
约分的完义
根据分式的基本性质, 把一个分式的分子与分母 的公因式约去, 叫做分式的约分.
分子与分母没有公因式的式子, 叫做最简分式
注意: 分式的约分, 一般要约去分子和分母所有 的公因式, 使所得的结果成为最简分式或整式.

约分的基本政骤
(1) 若分子、分母都是单项式, 则约去系数的最大公 约数, 并约去相同字母的最低次幂;
(2) 若分子、分母含有多项式, 则先将多项式分解因 式, 然后约去分子、分母所有的公因式.

6. 分式的通分:
   分式的通分的定义
   根据分式的基本性质，使分子、分母同乘适当的整 式 (即最简公分母)，把分母不相同的分式变成分 母相同的分式, 这种变形叫分式的通分.
   最简公分聙
   为通分先要确定各分式的公分母, 一般取各分母的所 有因式的最高次幂的积作公分母, 叫做最简公分母.

二、分式的运算

1. 分式的乘除法则:

$$
\frac{b}{a} \times \frac{c}{d}=\frac{b c}{a d} \quad \frac{b}{a} \div \frac{c}{d}=\frac{b}{a} \times \frac{d}{c}=\frac{b d}{a c}
$$

2.分式的乘方法则:

$$
\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n} .
$$

3. 分式的加减法则 :
   (1) 同分母分式的加减法则 :

$$
\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}=\frac{a \pm b}{c} .
$$

(2) 异分母分式的加减法则:

$$
\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d}=\frac{a d}{b d} \pm \frac{b c}{b d}=\frac{a d \pm b c}{b d} .
$$

**三、 分式方程**
1.分式方程的定义
分母中含末知数的方程叫做分式方程.
2. 分式方程的解法
(1)在方程的两边都乘以最简公分母, 约去分母, 化成整式方程.
(2) 解这个整式方程.
(3)把整式方程的解代入最简公分母, 如果最简公 分母的值不为 0 , 则整式方程的解是原分式方程的 解, 否则须舍去.

【例 1】 如果分式 $\frac{x^2-1}{x+1}$ 的值为 0 , 那么 $x$ 的值为（）
【解析】根据分式值为 0 的条件: 分子为 0 而分母不为 0 , 列出关于 $x$ 的方程, 求出 $x$ 的值, 并检验当 $x$ 的取值时分 式的分母的对应值是否为零. 由题意可得: $x^2-1=0$, 解 得 $x=\pm 1$. 当 $x=-1$ 时, $x+1=0$; 当 $x=1$ 时, $x+1 \neq 0$.
【答案】1

【列2】 若分式 $\frac{1}{a+3}$ 无意义, 则 $a$ 的值 $-3$.

【列3】.如果分式 $\frac{|a|-2}{a+2}$ 的值为零, 则 $a$ 的值为 2 .

【例4】 如果把分式 $\frac{x}{x+y}$ 中的 $\mathrm{x}$ 和 $\mathrm{y}$ 的值都扩大为原来 的3倍, 则分式的值 ( B )
A.扩大为原来的 3 倍
B. 不变
C.缩小为原来的 $\frac{1}{3}$
D.缩小为原来的 $\frac{1}{6}$

【例5】. 下列变形正确的是( C )
A. $\frac{a}{b}=\frac{a^2}{b^2}$ B. $\frac{a-b}{a}=\frac{a^2-b}{a^2}$
C. $\frac{2-x}{x-1}=\frac{x-2}{1-x}$
D. $\frac{-6 x^2 y}{9 x y^2}=\frac{2 x}{9 y}$

【例6】 已知 $x=1-\sqrt{2}, y=1+\sqrt{2}$, 求 $\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x-y}\right) \div \frac{2 x}{x^2-2 x y+y^2}$ 值.
【解析】本题中给出字母的具体取值, 因此要先化简 分式再代入求值.
解: 原式 $=\frac{2 x}{(\mathrm{x}-\mathrm{y})(\mathrm{x}+\mathrm{y})} \frac{(x-y)^2}{2 x}=\frac{x-y}{x+y}$,
把 $x=1-\sqrt{2}, y=1+\sqrt{2}$ 代入得
原式 $=\frac{1-\sqrt{2}-(1+\sqrt{2})}{1-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}}=\frac{-2 \sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}$.

【例7】有一道题: "先化简, 再求值: $\left(\frac{x-2}{x+2}+\frac{4 x}{x^2-4}\right) \div \frac{1}{x^2-4}$, 其中 $x=-\sqrt{3}$ ".小玲做题时把 $x=-\sqrt{3}$ 错抄成 $x=\sqrt{3}$, 但她的计算结果也是正确的, 请你解释这是怎么回 事?
解: $\left(\frac{x-2}{x+2}+\frac{4 x}{x^2-4}\right) \div \frac{1}{x^2-4}=\frac{(x-2)^2+4 x}{x^2-4} \cdot\left(x^2-4\right)$ $=\frac{x^2-4 x+4+4 x}{x^2-4} \cdot\left(x^2-4\right)=x^2+4$
$\because(\sqrt{3})^2=(-\sqrt{3})^2=3$, 所以结果与 $x$ 的符号无关

【例8】 已知 $a+\frac{1}{a}=5$, 求 $\frac{a^2}{a^4+a^2+1}$ 的值
解: 因为 $a+\frac{1}{a}=5$, 所以 $\left(a+\frac{1}{a}\right)^2=25$, 即 $a^2+\frac{1}{a^2}=23$, 所以 $\frac{a^4+a^2+1}{a^2}=a^2+1+\frac{1}{a^2}=23+1=24$. 所以 $\frac{a^2}{a^4+a^2+1}=\frac{1}{24}$.

【例9】已知 $\boldsymbol{x}^2-\mathbf{5} \boldsymbol{x}+\mathbf{1}=\mathbf{0}$, 求出 $x^4+\frac{1}{x^4}$ 的值.
解: 因为 $x^2-\mathbf{5} x+\mathbf{1}=\mathbf{0}$, 得 $x-5+\frac{1}{x}=0$, 即 $x+\frac{1}{x}=5$.
所以

$$
\begin{aligned}
& x^4+\frac{1}{x^4}=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2-2 \\
= & {\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2\right]^2-2 } \\
= & (25-2)^2-2 \\
= & 527 .
\end{aligned}
$$

【例10】 解下列分式方程:
(1) $\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=0 ;(2) \frac{x-4}{x+1}=2-\frac{3}{x+1}$.
解: （1）去分母得 $x+1+x-1=0$, 解得 $x=0$,
经检验 $x=0$ 是分式方程的解;
（2）去分母得 $x-4=2 x+2-3$, 解得 $x=-3$,
经检验 $x=-3$ 是分式方程的解.

【例11】. 解方程: $\frac{x-2}{x+2}-1=\frac{16}{x^2-4}$.
解: 最简公分母为 $(x+2)(x-2)$, 去分母得 $(x-2)^2-(x+2)(x-2)=16$,
整理得 $-4 x+8=16$, 解得 $x=-2$,
经检验 $x=-2$ 是增根, 故原分式方程无解.

【例12】 从广州到某市, 可乘坐普通列车或高铁, 已 知高铁的行驶路程是 400 千米, 普通列车的行驶路 程是高铁的行驶路程的 $1.3$ 倍.
(1)求普通列车的行驶路程;
解析: (1)根据高铁的行驶路程是 400 千米和普通列 车的行驶路程是高铁的行驶路程的 $1.3$ 倍, 两数相 乘即可;
解: (1)根据题意得 $400 \times 1.3=520$ (千米).
答: 普通列车的行驶路程是520千米;

【例13】. 某施工队挖掘一条长90米的隧道, 开工后每天 比原计划多挖1米, 结果提前 3 天完成任务, 原计 划每天挖多少米? 若设原计划每天挖 $x$ 米, 则依 题意列出正确的方程为（D）
A $\frac{90}{x}-\frac{90}{x-1}=3$
B. $\frac{90}{x-1}-\frac{90}{x}=3$
C. $\frac{90}{x}-\frac{90}{x+1}=3$
D. $\frac{90}{x+1}-\frac{90}{x}=3$

【例14】. 某商店第一次用 600 元购进 $2 B$ 铅笔若干支, 第二次 又用600元购进该款铅笔, 但这次每支的进价是第一 次进价的 $\frac{5}{4}$ 倍, 购进数量比第一次少了 30 支. 求第 一次每支铅笔的进价是多少元?
解: 设第一次每支铅笔进价为 $x$ 元, 根据题意列方程, 得
$\frac{600}{x}-\frac{600}{\frac{5}{4} x}=30 $

解得 $x=4$.
经检验, 故 $x=4$ 原分式方程的解.
答: 第一次每支铅笔的进价为 4 元.

【例15】.已知: $\frac{2 a-b}{a+2 b}=\frac{3}{14}$, 求 $\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$ 的值.
【解析】由已知可以变形为用 $b$ 来表示 $a$ 的形式，可 得 $a=\frac{4}{5} b$, 代入约分即可求值.
解： $\because \frac{2 a-b}{a+2 b}=\frac{3}{14}, \quad \therefore a=\frac{4}{5} b$.

$$
\therefore \frac{\left(\frac{4}{5} b\right)^2+b^2}{\left(\frac{4}{5} b\right)^2-b^2}=-\frac{41}{9} .
$$

【例16】 已知 $\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$, 求 $\frac{x^2-y^2}{x^2-2 x y+y^2} \div \frac{x y+y^2}{2 x^2-2 x y}$ 的值.
解: 由 $\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$, 得 $x=\frac{2}{3} y$,

$$
\begin{gathered}
\frac{x^2-y^2}{x^2-2 x y+y^2} \div \frac{x y+y^2}{2 x^2-2 x y} \\
=\frac{(x+y)(x-y)}{(x-y)^2} \cdot \frac{2 x(x-y)}{y(x+y)} \\
=\frac{2 x}{y} . \\
\text { 把 } x=\frac{2}{3} y \text { 代入可得原式 }=\frac{\frac{4}{3} y}{y}=\frac{4}{3} .
\end{gathered}
$$

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