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向量的加法、减法与数乘
平面向量
向量的加法、减法与数乘
日期:
2023-11-05 19:15
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## 向量的加法 向量的加法最初来源于 “速度" 或者 "力" 的合成，如下图 $\overrightarrow{v_1}$ 和 $\overrightarrow{v_2}$ 最终合成了 $\overrightarrow{v_{\Delta}}$ ， 即: $\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{v_{\Delta}}$ ， 这种计算方法也被叫做平行四边形法则。  另外一种是三角形法则，如下图，小明从 $A$ 点走到 $B$ 点，然后转弯走到 $C$ 点 则，小明最终走的距离是 $A C$ ，因此 $$ \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C} $$  事实上，平行四边形法则和三角形法则并没有本质的区别，在平面向量已经说过，两个向量只要 大小相等，方向相同就是相同的向量，参考上图，在三角形法则里，把 $\overrightarrow{B C}$ 向做平移，让 $B$ 点和 $A$ 点重合，你就会发现三角形法则其实就是平行四边形法则。 向量的减法 在数学里，我们知道减去一个数其实等于加上这个数的相反数。同样，在向量里，规定与 $\boldsymbol{a}$ 大小相等，方向 相反的向量，叫做 $\boldsymbol{a}$ 的相反向量，因此 $$ \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{b}) $$  **向量加减的区别** 下图 $\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}$ 里，三个向量以a的起点为起点，以b的终点为终点，最终是由a指向 $\mathrm{b}$ 。 记忆方法：小明从家到北京，再从北京到上海，那么最终小明走的结果就是从家到上海。  下图 $\vec{a}-\vec{b}=\vec{c}$ 里，理解为以 $\mathrm{b}$ 的终点为始点，以 $\mathrm{a}$ 的终点为终点的向量，方向由b指向 $\mathrm{a}$  记忆方法：可以考虑 $a,b$ 共线的情况：如下图 黑色$a$减去红色$b$，等于黄色 $a-b$ ,箭头指向$a$的方向  **向量的数** 一般地, 给定一个实数 $\lambda$ 与任意一个向量 $a$, 规定它们的乘积是一个向量, 记作 $\lambda a$, 其中: (1) 当 $\lambda \neq 0$ 且 $\boldsymbol{a} \neq \mathbf{0}$ 时, $\lambda \boldsymbol{a}$ 的模为 $|\lambda||\boldsymbol{a}|$, 而且 $\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向如下: (1) 当 $\lambda>0$ 时, 与 $a$ 的方向相同; (2) 当 $\lambda<0$ 时, 与 $a$ 的方向相反. (2) 当 $\lambda=0$ 或 $\boldsymbol{a}=\mathbf{0}$ 时, $\lambda \boldsymbol{a}=\mathbf{0}$. 上述实数 $\lambda$ 与向量 $\boldsymbol{a}$ 相乘的运算简称为数乘向量. 由定义不难看出, 数乘向量的结果是一个向量, 而且这个向量与原来的向量共线 (平行), 即 $\lambda a / /$ $a$; 数乘向量的几何意义是, 把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小. 特别地, 一个向量的相反向量可以看成 -1 与这个向量的乘积, 即 $-\boldsymbol{a}=(-1) \boldsymbol{a}$. 当 $\lambda$ 和 $\mu$ 都是实数, 且 $a$ 是向量时: $\mu a$ 是向量, $\lambda(\mu a)$ 也是向量; $\lambda \mu$是实数, 但 $(\lambda \mu) a$ 是向量. 可以看出 $$ \lambda(\mu a)=(\lambda \mu) a $$ 例如, $$ \begin{aligned} & 3 \times(4 \boldsymbol{a})=(3 \times 4) \boldsymbol{a}=12 \boldsymbol{a}, \\ & (-2) \times(-\boldsymbol{a})=[(-2) \times(-1)] \boldsymbol{a}=2 \boldsymbol{a} . \end{aligned} $$ 由此可知, $(3 \times 4) \boldsymbol{a}$ 写成 $3 \times 4 \boldsymbol{a}$ 也不会产生歧义. 以后我们常将 $(\lambda \mu) \boldsymbol{a}$ 简单地写成 $\lambda \mu a$. 数乘向量的定义说明, 如果存在实数 $\lambda$, 使得 $\boldsymbol{b}=\lambda \boldsymbol{a}$, 则 $\boldsymbol{b} / / \boldsymbol{a}$.
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