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平面向量
向量的线性运算
日期:
2023-11-05 19:16
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向量的线性运算
向量的加法运算、数乘向量运算, 它们的结果都是向量, 这就是说, 这两者可以进行混合运算. 例如, 对于任意向量 $\boldsymbol{a}$, 式子 $(6 \boldsymbol{a})+(2 \boldsymbol{a})$ 是有意义的. 一般地, 一个含有向量加法、数乘向量运算的式子, 总是规定要先算数乘向量, 再算向量加法. 因此, $(6 \boldsymbol{a})+(2 \boldsymbol{a})$ 可以简写成 $6 \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{a}$. 另外, 不难看出 $6 \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{a}=8 \boldsymbol{a}$. 一般地, 对于实数 $\lambda$ 与 $\mu$, 以及向量 $a$, 有 $$ \lambda a+\mu a=(\lambda+\mu) a . $$ 这可以通过对 $\lambda, \mu$ 以及 $\lambda+\mu$ 的符号进行讨论得到. 例如, 当 $\lambda, \mu$ 都是正数时, 不难看出 $\lambda a+\mu a$ 和 $(\lambda+\mu) a$ 的方向都与 $\boldsymbol{a}$ 的方向相同, 而且模都等于 $(\lambda+\mu)|\boldsymbol{a}|$, 所以此时 $\lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{a}=(\lambda+\mu) \boldsymbol{a}$. **线性运算** 不难看出, 向量的减法也能与向量的加法、数乘向量进行混合运算. 向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算, 统称为向量的线性运算. 向量的线性运算, 总规定要先计算数乘向量, 再按从左往右的顺序进行计算, 若有括号, 要先算括号内各项. 因此, $[\boldsymbol{a}-(2 \boldsymbol{b})]+(6 \boldsymbol{a})$ 可以简单地写成 $\boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b}+6 \boldsymbol{a}$. 另外, 由于向量的加法满足交换律与结合律, 减去一个向量可以看成加上这个向量的相反向量, 因此 $$ \begin{aligned} \boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b}+6 \boldsymbol{a} & =\boldsymbol{a}+(-2 \boldsymbol{b})+6 \boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}+6 \boldsymbol{a}+(-2 \boldsymbol{b}) \\ & =7 \boldsymbol{a}+(-2 \boldsymbol{b})=7 \boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b} . \end{aligned} $$ 事实上, 当一个向量的线性运算中含有括号时, 我们可以用类似多项式运算中拆括号的方式来去掉其中的括号, 例如 $$ -(\boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b})=-\boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b} . $$
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