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高等数学
第一章 函数、连续与极限
基本初等函数
日期:
2023-10-01 11:28
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基本初等函数
**反、对、幂、三、指** (1) 幂函数: $y=x^\alpha$ ( $\alpha$ 是常数) 当 $\alpha \in Z^{+}$时， $y=x^\alpha$ 的定义域是 $R$ ； 当 $\alpha \in Z^{-}$时， $y=x^\alpha$ 的定义域是 $R \backslash\{0\}$ (见图1-17)； 当 $\alpha=\frac{1}{2}$ 时， $y=x_1^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$ 的定义域是 $[0,+\infty)$ ； 当 $\alpha=-\frac{1}{2}$ 时， $y=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$ 的定义域是 $(0,+\infty)$, 幂函数的最小定义域是 $(0,+\infty)$.  (3) 对数函数: $y=\log _a x(a>0, a \neq 1)$ 对数函数 $y=\log _a x(a>0, a \neq 1)$ 的定义域是 $(0,+\infty)$, 其图像位于 $y$ 轴的右方且通过 点 $(1,0) .$. 当 $a>1$ 时， $y=\log _a x$ 是单调增加函数(见图1-20)； 当 $0<a<1$ 时， $y=\log _a x$ 是单调减少函数(见图1-21). 当 $a=\mathrm{e}$ 时的对数函数 记为 $y=\ln x$ ，称为自然对数函数.  对数具有以下运算性质：对任意的 $x, y \in R^{+}, a>0, a \neq 1 ， b \in \mathrm{R}$, (i) $\log _a x+\log _a y=\log _a x y$ (ii) $\log _a x-\log _a y=\log _a \frac{x}{y}$ (iii) $\log _a x^b=b \log _a x$ $y=\log _a x$ 和 $y=a^x$ 互为反函数，它们的图像关于直线 $y=x$ 对称，且有 $a^{\log _a x}=x$ ， 进一步，我们在以后的计算中经常会用到 $\mathrm{e}^{\ln x}=x$ 和 $\mathrm{e}^{a \ln x}=\mathrm{e}^{\ln x^a}=x^a$. **三角函数** $y=\tan x$ 的定义域是 $\left\{x \mid x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots\right\}$ 值域是 $(-\infty,+\infty)$ ，最小正周期是 $\pi$ ，在定义域 上是奇函数 (见图1-24)； $y=\cot x$ 的定义域是 $\{x \mid x \neq k \pi, k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots\}$ ，值域是 $(-\infty,+\infty)$ ，最小正周期是 $\pi$ ，在定义域 上是奇函数 (见图1-25)；  正割、余割函数与余弦、正弦函数的关系式为 $$ y=\sec x=\frac{1}{\cos x}, \quad y=\csc x=\frac{1}{\sin x} $$ **(5) 反三角函数** 定义 1 在区间 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的正弦函数的反函数记作 $y=\arcsin x$ 定义域为 $[-1,1]$ ，值域为 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ ，称为反正弦函数 (见图1-26).  定义2 在区间 $[0, \pi]$ 上的余弦函数的反函数记作 $y=\arccos x$ ， 定义域为 $[-1,1]$ ，值域为 $[0, \pi]$ ，称为反余弦函数(见图1-27). 
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