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高等数学[教程类] Calculus（考研专区）
第一章 函数、连续与极限
最大值和最小值定理
最大值和最小值定理
日期:
2023-10-01 11:28
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定理 5 (最大值和最小值定理) 若函数 $f(x)$ 在闭 区间上连续，则该函数在该闭区间上必有界，且 有最大值和最小值. 定理 5 也可叙述为，若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续， 则至少存在一点 $\xi_1 \in[a, b]$ ，使 $f\left(\xi_1\right)=M=\max _{x \in[a, b]} f(x)$; 至少存在一点 $\xi_2 \in[a, b]$ ，使 $f\left(\xi_2\right)=m=\min _{x \in[a b]} f(x)$ （见 图1-63). 从而有 $m \leq f(x) \leq M$ ， 则取 $K=\max \{|m|,|M|\}$ ，使 $|f(x)| \leq K ， x \in[a, b]$ ，即 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界.  方程 $f(x)=0$ 的根称为函数 $f(x)$ 的零点. 是不是所有的函数都有零点呢? 如图1-64所示，函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上恒大于零， 所以无零点； 而在图1-65中，虽然 $f(a)>0, f(b)<0 ，[a, b]$ ，但是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上也没有零点. 那么需要什么条件才能使函数必有零点? 
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