最后更新: 2025-04-10 07:16 查看: 510 次反馈刷题

散度

### 散度通俗理解
考虑在游泳池中考虑一个封闭的正方体区域，在该区域的六个表面中，要么有液体流出，要么有液体流入。设流出为正，流入为负，把六个面的流量相加，就是散度， 如果结果为正，则代表该区域有正的散度，即有流量流出。如果为负表示有流量流入，如果为零，表示流量既没有流入也没有流出，称为**无源场**。

散度表示场中一点处通量对体积的变化率。散度的另外一种通俗理解，考虑有一个质子向外发射射线，用一个纸袋保住质子，可以发现，散度为正。而且不论纸袋多大或者多小，保住的射线数量是一定的。
 ![图片](/uploads/2025-03/90ada2.jpg){width=200px}

另外一个粒子是电磁场，如下图
 ![图片](/uploads/2025-03/750b87.jpg){width=200px}
只要保住了磁铁，不论袋子形状如何，只要是密闭的袋子，流入和流出磁场的磁力线个数是相等的，也就是向外发射射线的数为0，因此是无源场。

## 散度
考察向量场 $v$ 通过一个封闭曲面 $S$ 外侧的通量，记成 $N$ ，

$$
N=\oint_s v \cdot n d S
$$

这种形式的通量具有重要的物理意义．例如，若 $v=v(M)$ 是流体的速度场，则它就表示从 $S$ 内部向外流出的流量．当 $N$ 大于零时，表示总有流体从 $S$ 内流出，因而 $S$ 内含有＂源＂；当 $N$ 小于零时，表示总有流体注入 $S$ 内部，$S$ 内含有＂汇＂或＂负源＂。为了刻画流体在各处的这种源汇的强度，可在一点 $M_0$ 的附近围绕 $M_0$ 作封闭曲面 $S$ ，把通过 $S$ 的流量和 $S$ 所围成的区域 $V$ 之体积 $\Delta V$ 相比，并考虑当 $V$ 无限收缩于点 $M_0$ 的极限

$$
\lim _{V \rightarrow M_0} \frac{1}{\Delta V} \oint_s v \cdot n d S
$$

它表示点 $M_0$ 附近单位体积所流出的流量，称为 $M_0$ 处源的密度．这显然是描述流场中各点局部性态的重要物理量。

将上述对于流体建立起来的概念推广到一般的向量场，便引出如下定义．

定义 设 $v(M)$ 是区域 $G$ 上的向量场，$M$ 是 $G$ 内一点．在场中围绕点 $M$ 作任意的闭曲面 $S, V$ 是 $S$ 所围成的闭区域，其体积记作 $\Delta V$（图8．10）$n$ 是 $S$ 外侧的单位法向量．若当区域 $V$ 无限收缩于点 $M$ 时，比式

$$
\frac{1}{\Delta V} \oint_S v \cdot n d S
$$

的极限存在，就称该极限为向量场 $v$ 在点 $M$ 的散度，记成 $div v$.

散度的定义与坐标系统无关．但为便于计算，选取直角坐标系 $O x y z$ ，并把场 $v$ 分解为

$$
v=P(x, y, z) i +Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k .
$$

假定分量 $P, Q, R$ 在区域 $G$ 上连续且有连续的一阶偏微商，则不难导出散度在直角坐标系下的表达式为

$$
\operatorname{div} v=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}
$$

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