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概率论与数理统计
第一篇 随机事件与概率
几何概率模型
日期:
2023-12-24 10:44
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几何概率模型
几何概率模型是古典概型的推广,保留每个样本点发生的等可能性,样本空间放宽为无穷不可列个样 本点,一般地,设样本空间 $\Omega$ 是某个区域(直线、平面或空间). 则事件 $A$ 的概率为 $$ P(A)=\frac{m(A)}{m(\Omega)} $$ 这里 $m(\bullet)$ 分别表示长度、面积或体积. 例 5(碰面问题) 甲、乙两人约定在中午的12时到13时在学校咖啡屋碰面,并约定先到者等候另一 人10分钟,过时即可离去. 求两人能碰面的概率. 解 设甲到达咖啡屋的时间为 $x$ ,乙到达 时间为 $y$ ,则 $x, y \in[0,60]$, 两人能碰面 的事件所对应的区域为右图中带形区域 所求概率为 $$ P=\frac{m(D)}{m(\Omega)}=\frac{60^2-50^2}{60^2}=\frac{11}{36} $$ ![图片](/uploads/2023-01/image_20230103f9df158.png) ## 几个经典问题 **3.1 线段上投1个点** 投 1 个点,有无数种可能,但 1 个点无法构成一个区域范围所以是无法计算出概率的,同样的,在面积上投 1 个点同理所以,在几何概型中,事件A发生的前提是存在一个定义好的区域范围于是,可以发现:概率为 0 ,不代表事件不可能发生,是成立的! 这条适用于:古典和几何概型概率为 1 的事件,一定是必然事件,是成立的! 这条适用于:古典概型概率为 1 的事件,一定是必然事件,是不成立的! 这条适用于:几何概型 **3.2 求线段长度问题** 类似的有:等公交,等红绿灯,等闹钟叫,等电话呼,等水烧开... 例: 有一公交站台,平均每10分钟开出一班车,问小明到达站台后 2 分钟内能坐上车的概率 分析:时间的度量值,是可以无限细分的,也就是无限个数的 所以:是一个几何概型问题 设:事件A为小明到达站台后2分钟内能坐上车 第1步: 求样本空间构成的区域度量为:10分钟 第2步: 求事件A构成的区域度量为: 2分钟 通过画图分析得到,如下图 ![图片](/uploads/2023-12/image_202312247877076.png){width=300px} 所以: $P(A)=2 / 10=1 / 5=20 \%$ **3.3 求阴影面积问题** 类似的有: 各种能否遇到或不遇到的问题,比如:会面问题、取报纸等,下例为不遇到问题例: $A B C D$ 为长方形, $A B=20 \mathrm{~cm} , B C=10 \mathrm{~cm} , O$ 为 $A B$ 的中点,在长方形 $A B C D$ 内随机取 1 点问: 取到的点到 $O$ 距离 $>10 \mathrm{~cm}$ 的概率 设:事件 $A$ 为取到的 $A$ 到 $O$ 的距离 $>10 \mathrm{~cm}$ 第1步: 求样本空间 $\Omega$ 构成的区域: $20 \times 10=200$ 平方厘米(面积) 第 2 步: 求事件A构成的区域:长方形的面积-半圆的面积 $=200-157 \approx 43$ 平方厘米通过画图分析得到,如下图 ![图片](/uploads/2023-12/image_202312244c9046c.png) 所以: $P(A) \approx 43 / 200 \approx 21.5 \%$
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