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蒲丰投针问题

1777年的某一天，法国科学家蒲丰(Buffon 1707—1788)的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。

试验开始，只见年已古稀的蒲丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。”

不知道蒲丰先生要玩什么把戏，客人们只好客随主意，一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把它捡起来又扔，而蒲丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后，蒲丰先生高声宣布:“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212  次，

其中与平行线相交的有704  次。总数2212  与相交数704  的比值为  3.142 ”说到这里，蒲丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说:“先生们，这就是圆周率 $\pi$  的近似值!"

听蒲丰这么一说，大家吃惊不小，一时异议纷纷，大家全部感到莫名其妙：“圆周率 $\pi$ ？这可是与圆半点也不沾边的呀。"

蒲丰先生好像猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“诸位，这里用的是概率的原理，如果大家有耐心的话，再增加投针的次数，还能得到 $\pi$ 的更精确的近似值。不过，要想弄清其间的道理，只好请大家去看敝人的新作了。”蒲丰先生扬了扬自己手上的一本《或然算术试验》的书。

$\pi$ 在这种纷纭杂乱的场合出现，实在是出乎人们的意料，然而它却是干真万确的事实。由于投针试验的问题，是蒲丰先生最先提出的，所以数学史上就称它为蒲丰问题，蒲丰得出的一般结果是:
若一根长度为 $l$ 的短针，抛在横线间间距为 $d \geq l$ 的均匀横纹纸上，则针落在一个与某条横线相交的位置的概率恰为 $p=\frac{2 l}{\pi d}$.

![图片](/uploads/2023-12/image_20231224e4a761a.png)

这个结果意味着可以通过实验得到 $\pi$ 的近似值：郑针 $N$ 次,得到正面的结果(相交) $P$ 次，则 $\frac{P}{N}$应大约是 $\frac{2 l}{\pi d}$ 亦即 $\pi$ 可以由 $\frac{2 l N}{d P}$ 逼近。

最大规模(和最彻底的)实验也许是1901年由拉扎里尼( Lazzarini)完成的,他甚至造了一个机器来把一根木棍抛掷 3408 次(其 $\frac{l}{d}=\frac{5}{6}$ )。和横线相交的次数是 1808 次，从而得到近似 $\pi \approx 2 \cdot \frac{5}{6} \frac{3408}{1808}=3.1415929 \cdots$. 这精确到 $\pi$ 的第六位小数，足够好了(Lazzarini选取的值直接联系到广为人知的近似 $\pi \approx \frac{355}{113}$ ； 这可以解释 3408 和 $\frac{5}{6}$ 要知道 $\frac{5}{6} \cdot 3408$ 是 355 的倍数)!

## 积分证明

但我们也可以用微积分证明!

得到一个 "简单" 积分的关键是考虑针的斜率:

不妨设其落在与水平线成 $\alpha$ 角的位置，且 $\alpha$ 的取值范围是 $0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}$ (由对称性不计斜率为负的情形，因为它与正斜率时概率相等)。

![图片](/uploads/2023-12/image_20231224465aee6.png)
则落在斜率为 $\alpha$ 处的针高度为 $l \sin \alpha$ ，与间距为 $d$ 的横线相交的概率是 $\frac{l \sin \alpha}{d}$ ，于是对可能的角度 $\alpha$ 取平均值，就得到概率:

$$
p=\frac{2}{\pi} \int_0^{\pi / 2} \frac{l \sin \alpha}{d} d \alpha=\frac{2}{\pi} \frac{l}{d}[-\cos \alpha]_0^{\pi / 2}=\frac{2}{\pi} \frac{l}{d} .
$$

如果是长针，只要 $l \sin \alpha \leq d$ ，亦即角度满足 $0 \leq \alpha \leq \arcsin \frac{d}{l}$ ，概率是相同的： $\frac{l \sin \alpha}{d}$.
但若角度 $\alpha$ 更大，则针就必定穿过横线，故概率是 1 ，从而对 $l \geq d$ ，计算得：

$$
\begin{aligned}
p & =\frac{2}{\pi}\left(\int_0^{\arcsin (d / l)} \frac{l \sin \alpha}{d} d \alpha+\int_{\arcsin (d / l)}^{\pi / 2} 1 d \alpha\right) \\
& =\frac{2}{\pi}\left[\frac{l}{d}[-\cos \alpha]_0^{\arcsin (d / l)}+\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin \frac{d}{\ell}\right)\right] \\
& =1+\frac{2}{\pi}\left[\frac{l}{d}\left(1-\sqrt{1-\frac{d^2}{l^2}}\right)-\arcsin \frac{d}{l}\right]
\end{aligned}
$$

由此可见，长针的答案不那么漂亮，但它提供给我们一些有益的练习:

证明(" 安全起见 "): 以上公式在 $l=d$ 时得出 $\frac{2}{\pi}$ ，概率依 $l$ 严格递增，以及当 $l \rightarrow \infty$ 时概率趋于 1 .

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