日期: 2024-04-25 14:47 查看: 177 次编辑导出本文

随机变量的分布函数

## 理解常见的随机变量与分布
在学习本站内容时，会学习 二项分布、泊松分别、指数分布、正态分布等，读者需要记住常见情况下使用哪种分布。比如医院急求病人分布，轮胎损坏分布等，必须知道在这种情况下应该大致使用哪种分布。如果不了解每个分布应用的场景，讲难于做题。考试基本上就考那几种场景。

#### 定义2 
给定一个随机变量 $X$ ，对任意实数 $x \in(-\infty,+\infty)$ 称函数 $F(x)=P(X \leq x)$ 为随机变量 $X$ 的分布函数. 对任意满足条件 $-\infty<a<b<+\infty$ 的实数 $a, b$ ，有

$$
P(a<X \leq b)=F(b)-F(a) .
$$

(1) 分布函数是定义在 $-\infty<x<+\infty$ 上，取值在 $[0,1]$ 上的一个函数。
(2) 任一随机变量 $X$ 都有且仅有一个分布函数，有了分布函数，就可计算与随机 变量 $X$ 相关的事件的概率问题。

下面通过一个简单的例子解释一下：
投骰子，其点数为 $1,2,3,4,5,6$ ，其中
出现1的概率为$P(1)=\frac{1}{6}$
出现2的概率为$P(2)=\frac{1}{6}$
...
出现6的概率为$P(6)=\frac{1}{6}$

直接把点数映射为数组轴$R$空间，那么，其分布函数就是

$F(- \infty )=P(X \leq x)=P(X \leq -\infty )=0$

$F(1)=P(X \leq x)=P(X \leq 1)=\frac{1}{6}$
上面表示$F(1)$ 的概率为 $\frac{1}{6}$

$F(2)=P(X \leq x)=P(X \leq 2)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}$
上面表示$F(2)$ 的概率为 $\frac{2}{6}$，因为他包含了1点和2点。

$F(3)=P(X \leq x)=P(X \leq 3)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}$
上面表示$F(3)$ 的概率为 $\frac{3}{6}$，因为他包含了1点，2点和3点。

...

$F(6)=P(X \leq x)=P(X \leq 6)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{6}{6}=1$
上面其实表示的是所有的点数，所有为1

$F(7)=P(X \leq x)=P(X \leq 7)=1$

$F(+ \infty )=P(X \leq x)=P(X \leq 8)=1$

## 分布函数为什么难以理解

分布函数的定义是：$F(x)=P(X \leq x)$ ，其中$X$表示的是 $ P(X \leq x)$ ,他是一个“累加”函数，比如求$F(4)$ 就相当于是把 $P(1),P(2),P(3),P(4)$ 这四种可能性给累加起来，而不是仅仅理解为$P(4)$
所以，看到分布函数，再任何时候都要记住他的定义非常重要。

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