二维连续型随机变量及其联合密度函数

日期: 2023-10-01 11:28 查看: 28 次更新导出Word

定义7
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布函数为 $F(x, y)$ ，如果存在二元非负实值函 数 $f(x, y)$ ，使得对任意的 $(x, y) \in R^2$ 有

$$
F(x, y)=P(X \leq x, Y \leq y)=\int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f(u, v) d u d v=\iint_{D_y} f(u, v) d u d v
$$

则称 $(X, Y)$ 为二维连续型随机变量，称 $f(x, y)$ 为二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 的联 合 (概率) 密度函数.

定义8
设 $n$ 维随机变量 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 的联合分布函数为 $F\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ ，如果存在一个 $n$ 元非负 函数 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ ，使得对任意的 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \in R^n$ 有

$$
F\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\int_{-\infty}^{x_1} \int_{-\infty}^{x_2} \cdots \int_{-\infty}^{x_n} f\left(u_1, u_2, \cdots, u_n\right) d u_1 d u_2 \cdots d u_n
$$

成立，则称 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为 $n$ 维连续型随机变量， $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 为 $n$ 维连续型随机变量 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 的联合 (概率) 密度函数。
定理 2
(联合密度函数的性质)
设 $f(x, y)$ 为二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度函数，则
（1） 非负性 $f(x, y) \geq 0,-\infty<x, y<+\infty$;
（2）规范性 $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=1$.

定理3 二维连续型随机变量的性质

1 任意一条平面曲线 $L$ ，有 $P((X, Y) \in L)=0$ ；
$2 F(x, y)$ 为连续函数，在 $f(x, y)$ 的连续点处有

$$
\frac{\partial^2 F(x, y)}{\partial x \partial y}=f(x, y) ;
$$

3 对 xoy 平面上任意一区域 $D$ ，有

$$
P((X, Y) \in D)=\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$

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