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二维连续型随机变量函数的分布

## 二维连续型随机变量函数的分布
**定义1**
设 $f(x, y)$ 为二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度函数，
当 $y \in \Omega_Y$ 时，在给定条件 $\{Y=y\}$ 下 $X$ 的条件密度函数为

$$
f_{X | Y}(x \mid y)=\frac{f(x, y)}{f_Y(y)},-\infty<x<+\infty \text { ，其中 } f_Y(y)>0
$$

对固定的 $y \in \Omega_Y$ ，记在给定条件 $\{Y=y\}$ 下的随机变量 $X$ 为 $X \mid Y=y$
其值域记为 $\Omega_{X \mid Y=y}=\{x: f(x, y) \neq 0(y$ 固定 $)\}$

![图片](/uploads/2023-01/image_20230103ccdee84.png)

当 $x \in \Omega_X$ 时，在给定条件 $\{X=x\}$ 下 $Y$ 的条件密度函数为

$$
f_{Y \mid X}(y \mid x)=\frac{f(x, y)}{f_X(x)},-\infty<y<+\infty \text { ，其中 } f_X(x)>0
$$

对固定的 $x \in \Omega_X$ ，记在给定条件 $\{X=x\}$ 下的随机变量 $Y$ 为 $Y \mid X=x$ ， 其值域记为 $\Omega_{Y \mid X=x}=\{y: f(x, y) \neq 0(x$ 固定 $)\}$

### 定理 1 (分布的可加性)
设 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则
(1)设 $X \sim B(m, p), Y \sim B(n, p)$ ， 且 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则

$$
X+Y \sim B(m+n, p) \text {; }
$$

(2) 设 $X \sim P\left(\lambda_1\right), Y \sim P\left(\lambda_2\right)$ ，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则

$$
X+Y \sim P\left(\lambda_1+\lambda_2\right) \text {. }
$$

定理1可推广到 $n$ 个相互独立的随机变量的和.

![图片](/uploads/2023-01/image_2023010366c0b67.png)
因此，有如下结论。
如果二维离散型随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布律为

$$
P\left(X=a_i, Y=b_j\right)=p_{i j}, \quad i, j=1,2, \cdots,
$$

则随机变量 $(X, Y)$ 的函数 $Z=g(X, Y)$ 的分布律为

$$
P\left(Z=g\left(a_i, b_j\right)\right)=p_{i j}, \quad i, j=1,2, \cdots,
$$

且取相同 $g\left(a_i, b_j\right)$ 值对应的那些概率应合并相加。

![图片](/uploads/2023-01/image_20230103dd49636.png)

![图片](/uploads/2023-01/image_20230103a4d2d2d.png)

定理2
设随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度函数为 $f(x, y)$ ，
则随机变量 $(X, Y)$ 的函数 $Z=X+Y$ 的密度函数为

$$
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x, z-x) \mathrm{d} x \text { 或 } f_z(z)=\int_{-\infty}^{\infty} f(z-y, y) \mathrm{dy}
$$

特别地，当 $X$ 与 $Y$ 相互独立时，上式成为

$$
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) \mathrm{d} x \text { 或 } f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty} f_X(z-y) f_Y(y) d y
$$

该公式称为卷积公式.
证明 对任意的 $z \in R$ ，

$$
\begin{aligned}
& F_Z(z)=P(Z \leq z)=P(X+Y \leq z)=\iint_{x+y \leq z} f(x, y) d x d y \\
& F_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^z f_X(v, u-x) d u d v=\int_{-\infty}^z \int_{-\infty}^{+\infty} f(\mathrm{v}, u-v) d v d u
\end{aligned}
$$

由 $z$ 的任意性知 $\quad f_z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z-x) d x$ 同理得

$$
f_z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(z-y, y) d y .
$$

显然，当随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立时，

$$
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z-x) d x \quad f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(z-y) f_Y(y) d y .
$$

定理3 正态分布的可加性

设 $X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right), Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right)$, 且 $X$ 与 $Y$ 相互独立，
则 $X+Y \sim N\left(\mu_1+\mu_2, \sigma_1^2+\sigma_2^2\right)$
更一般地，有

$$
k X+l Y+b \sim N\left(k \mu_1+l \mu_2+b, k^2 \sigma_1^2+l^2 \sigma_2^2\right)
$$

其中 $k, l, b$ 均为常数，且 $k, l$ 不全为零.

![图片](/uploads/2023-01/image_20230103945156d.png)

![图片](/uploads/2023-01/image_20230103be0dc7d.png)
定理 4
设 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $X$ 的分布函数为 $F_X(x)$ ， $Y$ 的分布函数为 $F_Y(y)$ ，则
(1) $U=\max (X, Y)$ 的分布函数为

$$
F_U(u)=F_X(u) F_Y(u)
$$

(2) $V=\min (X, Y)$ 的分布函数为

$$
F_V(v)=1-\left(1-F_X(v)\right)\left(1-F_Y(v)\right)
$$

由分布函数的定义及 $X$ 与 $Y$ 相互独立得

$$
\begin{aligned}
F_U(u) & =P(\max (X, Y) \leq u)=P(X \leq u, Y \leq u) \\
& =P(X \leq u) P(Y \leq u)=F_X(u) F_Y(u)
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
F_V(v) & =P(V \leq v)=P(\min (X, Y) \leq v) \\
& =1-P(\min (X, Y)>v)=1-P(X>v, Y>v)=1-P(X>v) P(Y>v) \\
& =1-(1-P(X \leq v))(1-P(Y \leq v)) \\
& =1-\left(1-F_X(v)\right)\left(1-F_Y(v)\right)
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2023-01/image_20230103bb7b09e.png)

例4
设 $X_1$ 与 $X_2$ 是相互独立的随机变量, $X_1 \sim E\left(\lambda_1\right), X_2 \sim E\left(\lambda_2\right)$
记 $U=\max (X, Y), V=\min (X, Y)$, 分别求 $U ， V$ 的密度函数.

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