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概率论与数理统计
第三篇 多维随机变量及其分布
二维离散型随机变量的条件分布律
日期:
2023-10-01 11:28
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二维离散型随机变量的条件分布律
定义1 设二维离散型随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布律为 $$ p\left(X=x_i, Y=y_j\right)=p_{i j}, i, j=1,2, \cdots $$ 当 $y_j \in \Omega_Y$ 时，在给定 条件 $\left\{Y=y_j\right\}$ 下 $X$ 的条件分布律为 $$ p\left(X=x_i \mid Y=y_j\right)=\frac{p_{i j}}{P_{. j}}, i=1,2, \cdots $$ 对固定的 $y_j \in \Omega_Y$, 记在给定条件 $\left\{Y=y_j\right\}$ 下的随机变量为 $X \mid Y=y_j$, 其值域记为 $$ \Omega_{X Y Y=y_j}=\left\{x_i: P\left\{X=x_i, Y=y_j\right\} \neq 0\left(y_j \text { 固定 }\right), i=1,2, \cdots\right\} $$  设二维离散型随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布律 $$ p\left(X=x_i, Y=y_j\right)=p_{i j}, i, j=1,2, \cdots $$ 当 $x_i \in \Omega_X$ 时，在给定条件 $\left\{X=x_i\right\}$ 下 $Y$ 的条件分布律为 $$ p\left(Y=y_j \mid X=x_i\right)=\frac{p_{i j}}{P_i .}, j=1,2, \cdots $$ 对固定的 $x_i \in \Omega_X$, 记在给定条件 $\left\{X=x_i\right\}$ 下的随机变量为 $Y \mid X=x_i$ ，其值域记为 $$ \Omega_{Y \mid X=x_i}=\left\{y_j: P\left\{X=x_i, Y=y_j\right\} \neq 0\left(x_i \text { 固定 }\right), j=1,2, \cdots\right\} $$ 定义2 设 $f(x, y)$ 为二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度函数， 当 $y \in \Omega_Y$ 时，在给定条件 $\{Y=y\}$ 下 $X$ 的条件密度函数为 $$ f_{X | Y}(x \mid y)=\frac{f(x, y)}{f_Y(y)},-\infty<x<+\infty \text { ，其中 } f_Y(y)>0 $$ 对固定的 $y \in \Omega_Y$ ，记在给定条件 $\{Y=y\}$ 下的随机变量 $X$ 为 $X \mid Y=y$ 其值域记为 $\Omega_{X \mid Y=y}=\{x: f(x, y) \neq 0(y$ 固定 $)\}$  当 $x \in \Omega_X$ 时，在给定条件 $\{X=x\}$ 下 $Y$ 的条件密度函数为 $$ f_{Y \mid X}(y \mid x)=\frac{f(x, y)}{f_X(x)},-\infty<y<+\infty \text { ，其中 } f_X(x)>0 $$ 对固定的 $x \in \Omega_X$ ，记在给定条件 $\{X=x\}$ 下的随机变量 $Y$ 为 $Y \mid X=x$ ， 其值域记为 $\Omega_{Y \mid X=x}=\{y: f(x, y) \neq 0(x$ 固定 $)\}$       
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