随机变量的相互独立性

日期: 2023-10-01 11:28 查看: 25 次更新导出Word

定义4
设 $(X, Y)$ 为二维随机变量，若对任意的 $x, y \in R$ 都有 $F(x, y)=F_X(x) F_Y(y)$ 成立，则称随机变量
$X$ 与 $Y$ 相互独立.
定理 2
设 $(X, Y)$ 为二维离散型随机变量，那么， $X$ 与 $Y$ 相互独立的充分必要条件是对任意的 $i, j=1,2, \cdots$, 都有 $p_{i j}=p_{i \cdot} \times p_{. j}$ 成立.
定理 3
设 $(X, Y)$ 为二维连续型随机变量，那么， $X$ 与 $Y$ 相互独立的充分必要条件是在 $f(x, y), f_X(x)$ 及 $f_Y(y)$ 的一切公共连续点上都有 $f(x, y)=f_X(x) f_Y(y)$

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定理4
设 $(X, Y) \sim N\left(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho\right)$ ，那么 $X$ 与 $Y$ 相互独立的充分必要条件是 $\rho=0$
证明 充分条件 当 $\rho=0$ 时
所以，对任意 $x, y \in R$ ， 都有 $f(x, y)=f_X(x) f_Y(y)$
因此 $X$ 与 $Y$ 相互独立.
必要条件 当 $X$ 与 $Y$ 相互独立时，对任意的 $x, y \in R$ 都有

$$
f(x, y)=f_X(x) f_Y(y)
$$

特别地，当 $x=\mu_1, y=\mu_2$ 时 该等式也成立，
所以

$$
\begin{aligned}
& f\left(\mu_1, \mu_2\right)=\frac{1}{2 \pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}}=f_X\left(\mu_1\right) \cdot f_Y\left(\mu_2\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_1} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_2}=\frac{1}{2 \pi \sigma_1 \sigma_2} \\
& \frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}}=1 \Rightarrow \rho=0 \\
&
\end{aligned}
$$

定义5
设 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为 $n$ 维随机变量，若对任意的 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \in R^n$
都有 $F\left(x_1, \ldots, x_n\right)=\prod_{i=1}^n F_{X_i}\left(x_i\right),-\infty<x_1, \ldots, x_n<\infty$ 那么就称随机变量 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 相互独立。连续型随机变量有 $f\left(x_1, \ldots, x_n\right)=\prod_{i=1}^n f_{X_i}\left(x_i\right)$,
在 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right), f_{X_1}\left(x_1\right), \cdots, f_{X_n}\left(x_n\right)$ 的一切公共连续点上成立。
当 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为离散型随机变量 时，随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立的充要条件是对任意的 $x_i \in \Omega_{X_i} i=1,2, \cdots, n_1$, 都有 $P\left(X_1=x_1, \cdots, X_n=x_n\right)=\prod_{i=1}^n P\left(X_i=x_i\right)$ 成立.

当 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right.$ 为连续型随机变量 时，随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立的充要条件是在 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right), f_{X_1}\left(x_1\right), f_{X_2}\left(x_2\right), \cdots, f_{X_n}\left(x_n\right)$ 的一切公共连续点处都有 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\prod_{i=1}^n f_{X_i}\left(x_i\right)$

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