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概率论与数理统计
第三篇 多维随机变量及其分布
二维连续型随机变量的边缘密度函数
日期:
2023-10-01 11:28
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二维连续型随机变量的边缘密度函数
定义3 设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度函数为 $f(x, y)$ 则随机变量 $X$ 的边缘密度函数为 $$ f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} y \quad-\infty<x<+\infty $$ 类似地，随机变量 $Y$ 的边缘密度函数为 $$ f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x \quad-\infty<y<+\infty $$   定理1 设 $(X, Y) \sim N\left(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho\right)$ ，则 $X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right), Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right)$. 证明 $\Omega_X=\Omega_Y=(-\infty,+\infty)$ ， 由边缘密度函数的定义得 $$ \begin{aligned} & f_x(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y \\ & =\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2 \pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}} \exp \left\{-\frac{1}{2\left(1-\rho^2\right)}\left[\frac{\left(x-\mu_1\right)^2}{\sigma_1^2}-2 \rho \frac{\left(x-\mu_1\right)\left(y-\mu_2\right)}{\sigma_1 \sigma_2}+\frac{\left(y-\mu_2\right)^2}{\sigma_2^2}\right]\right\} d y \\ & =\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_1} e^{-\frac{u^2}{2}} \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sqrt{1-\rho^2}} \exp \left\{-\frac{(v-\rho u)^2}{2\left(1-\rho^2\right)}\right\} d v=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_1} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}} \\ & \end{aligned} $$ 
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二维离散型随机变量的边缘分布律
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