二维连续型随机变量的边缘密度函数

日期: 2023-10-01 11:28 查看: 27 次更新导出Word

定义3
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度函数为 $f(x, y)$
则随机变量 $X$ 的边缘密度函数为

$$
f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} y \quad-\infty<x<+\infty
$$

类似地，随机变量 $Y$ 的边缘密度函数为

$$
f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x \quad-\infty<y<+\infty
$$

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定理1
设 $(X, Y) \sim N\left(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho\right)$ ，则 $X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right), Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right)$.
证明 $\Omega_X=\Omega_Y=(-\infty,+\infty)$ ， 由边缘密度函数的定义得

$$
\begin{aligned}
& f_x(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y \\
& =\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2 \pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}} \exp \left\{-\frac{1}{2\left(1-\rho^2\right)}\left[\frac{\left(x-\mu_1\right)^2}{\sigma_1^2}-2 \rho \frac{\left(x-\mu_1\right)\left(y-\mu_2\right)}{\sigma_1 \sigma_2}+\frac{\left(y-\mu_2\right)^2}{\sigma_2^2}\right]\right\} d y \\
& =\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_1} e^{-\frac{u^2}{2}} \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sqrt{1-\rho^2}} \exp \left\{-\frac{(v-\rho u)^2}{2\left(1-\rho^2\right)}\right\} d v=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_1} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}} \\
&
\end{aligned}
$$

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