最后更新: 2024-11-16 13:45 ● 参与者查看: 350 次纠错分享参与项目词条搜索

二维离散型随机变量的边缘分布律

> 前面介绍了联合分布，比如，我们要判定一个男生**健康**与否，需要通过“身高”和“体重”两个维度进行确定。但是对于有些活动，比如打篮球，我们更关注男生的身高（对于体重可以忽略），而对于有些活动比如矩阵，我们更关注男生的体重（身高可以忽略），换句话说，根据我们目的的不同，需要关注点也不同。因此引入了边缘分布。

> 考虑两个骰子的点数，第一个为$X$第二个为$Y$。那么$p(X=1,Y=1)$就是扔出来$(1,1）$的概率了，这个对应到连续的情况就是$F(X=1,Y=1)$，这就是联合概率密度。那么我现在只关心第一个骰子，也就是$X$，这时候$p(X=1)$就包含了扔出来 $(X=1,Y=1)(1,2)......(1,6)$ 六个情况了，也就是“y等于多少都可以”，这个就对应到连续变量的边缘分布了。那么，你肯定清楚离散下从第一个概率算第二个就是把第一个概率求和，这个对应到连续就自然变成积分了。

## 二维离散型随机变量的边缘分布律

若 $(X, Y)$ 是二维离散型随机变量, 其概率分布为

$$
P\left(X=x_i, Y=y_j\right)=p_{i j}, \quad i, j=1,2, \cdots,
$$

则 $X$ 的边缘分布函数为

$$
F_X(x)=F(x,+\infty)=P(X \leqslant x, Y<+\infty)=\sum_{x_i \leqslant x} \sum_j p_{i j}
$$

进而可知 $X$ 的分布列为对 $j$ 求和所得的分布列

$$
P\left(X=x_i\right)=\sum_{j=1}^{\infty} P\left(X=x_i, Y=y_j\right)=\sum_{j=1}^{\infty} p_{i j}, \quad i=1,2, \cdots,
$$

称上式为 $(X, Y)$ 关于 $X$ 的边缘分布列。
同理， $Y$ 的分布列为对 $i$ 求和所得的分布列

$$
P\left(Y=y_j\right)=\sum_{i=1}^{\infty} P\left(X=x_i, Y=y_j\right)=\sum_{i=1}^{\infty} p_{i j}, \quad j=1,2, \cdots,
$$

称上式为 $(X, Y)$ 关于 $Y$ 的边缘分布列。

## 例题
`例`设袋中有 4 个白球及 5 个红球, 现从中随机地抽取两次, 每次取一个, 定义随机变量 $X 、 Y$ 如下:
$$
X=\left\{\begin{array}{ll}
0, & \text { 第一次摸出白球 } \\
1, & \text { 第一次摸出红球 }
\end{array} \quad \quad Y=\left\{\begin{array}{ll}
0, & \text { 第二次摸出白球 } \\
1, & \text { 第二次摸出红球 }
\end{array}\right. \text {. }\right.
$$

写出下列两种试验的随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布与边缘分布.
（1）有放回摸球;（2）无放回摸球。
解 (1) 采取有放回摸球时, $(X, Y)$ 的联合分布与边缘分布如表 3.2.1 所示.
 ![图片](/uploads/2024-11/f3af80.jpg){widht=400px}
 
 （2）无放回摸球。
 ![图片](/uploads/2024-11/336103.jpg){widht=400px}

![图片](/uploads/2023-01/image_2023010322d981d.png)

![图片](/uploads/2023-01/image_202301036130eb0.png)

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