日期: 2023-10-01 11:28 查看: 128 次编辑导出本文

检验的基本原理

假设检验与参数估计的区别
1 参数估计是用样本数据对总体参数进行估计；
2 假设检验是用样本数据对总体参数的某个特定假设进行检验，进而判断是否拒绝该 假设.
如工厂生产的产品，长期以来不合格品率不超过 $0.01$ ，某天开工后，为检验生产过程 是否正常，随机地抽取了100件产品，发现其中有 3 件不合格，能否认为这天的生产过程是 正常的?
检验与估计是既有密切联系，又有重要区别的一种推断方法，假设检验在收集数据之前， 就已有一个有关问题的假设，要通过收集到的样本回答这个假设是否成立。
在前例这个假设就是: 生产过程是正常的，或者说不合格品率不超过 $0.01$ 。 但估计问题，在收集数据之前并不对参数真值进行假设，这是两者的重要差别。 此外，估计问题的结论是定量的，而检验问题的回答是定性的。
也即，回答观察的数据与假设的差异只是由随机性引起的呢? 还是反映了 总体的真实差异? 即关于总体的假设仍然成立呢? 还是不再成立?
假设检验的统计思想，它有些类似初等数学中的 “反证法"，即不妨先认为某一假设 (记为 $H_0$ ) 是成立的，通过样本数据，得到一个与之相矛盾的结果，于是认为假设 $H_0$ 不 成立，而接受与之对立的另外一个假设 (记为 $H_1$ ).

例1
一条高速公路上有一段弯曲的下坡路段，限速 $60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ ，但是仍然事故率较之其他 路段比较高，路政管理局正在研究这一路段是否需要提高限速要求至限速 $50 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ ，我 们想知道在这一路段经过的车辆速度是否比 $50 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 显著的快，用雷达仪测量了经过 该路段中点的 100 辆汽车的行驶速度，得到平均速度 $\bar{x}=54.7 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ ，问该路段上车辆 速度是否比 $50 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 显著的快.

分析：在这个问题中，我们要讨论的是实际车辆行驶速度有没有超过 $50 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ ，因此， 我们用一对假设:
$H_0$ :原假设(零假设)
$H_1$ : 备择假设（对立假设）
来表达，即
$H_0$ : 车速不超过 $60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$
$H_1$ : 车速超过 $60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$
我们的任务是利用样本数据信息 100 辆汽车的平均行驶速度 $\bar{x}=54.7 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 去判断原假设
是否成立.通过样本对原假设作出 “拒绝" 和 “不拒绝" 的具体判断就称为该假设的一个检验。若
原假设和备择假设是关于参数的，称为参数假设检验，否则称为非参数假设检验.

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在前例，记末知参数 $\theta$ 为总体的不合格率，可以建立如下假设:

$$
H_0: \theta \leq 0.01 \leftrightarrow H_1: \theta>0.01
$$

![图片](/uploads/2023-01/image_2023010313a3e36.png)

![图片](/uploads/2023-01/image_20230103947b577.png)

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![图片](/uploads/2023-01/image_202301037ecad7c.png)
当有了具体的样本观测值后:
（1）如果 $\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in W(W$ 为拒绝域 $)$ ，拒绝 $H_0$ ；
(2) 如果 $\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in \bar{W}(\bar{W}$ 为接受域 $)$ ，不拒绝 $H_0$.

![图片](/uploads/2023-01/image_20230103836c4ee.png)

![图片](/uploads/2023-01/image_20230103f5e7cb7.png)

![图片](/uploads/2023-01/image_20230103eb2e8b6.png)
例 3 设购进 6 台同型号电视机，原假设 $H_0$ : 只有 1 台有质量问题 $\leftrightarrow H_1: 2$ 台有质量问题， 今有放回随机抽取 2 台测试其质量，用 $X$ 表示 2 台中有质量问题的台数，拒绝域 $W=\{X: X \geq 1\}$ ， 试写出此检验的两类错误概率的大小.
解 设 $\theta$ 表示 6 台中有质量问题的台数，则 $H_0: \theta=1 \leftrightarrow H_1: \theta=2$ ，
第一类错误概率

$$
P\left(\left(X_1, \cdots, X_n\right) \in W \mid H_0 \text { 成立 }\right)=P(X \geq 1 \mid \theta=1)=1-P(X=0 \mid \theta=1)=1-\left(\frac{5}{6}\right)^2=\frac{11}{36} .
$$

第二类错误概率

$$
P\left(\left(X_1, \cdots, X_n\right) \in \bar{W} \mid H_1 \text { 成立 }\right)=P(X=0 \mid \theta=2)=\left(\frac{4}{6}\right)^2=\frac{4}{9} \text {. }
$$

![图片](/uploads/2023-01/image_202301034e43d01.png)
检验统计量须满足:
A 在原假设下的分布是完全已知的或可以计算
B $Z$ 服从标准正态分布，故该检验又称 为 $Z$-检验（或 $U-$-检验) 。

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例5
一美国汽车厂商声称他们生产的某节能型汽车耗油量低于 29 (单位: 英里/加 仑，简称 $\mathrm{mpg}$ ），另一汽车厂商表示怀疑，他抽取了一组同是这一型号的不同汽车 的不同行驶记录共 16 条记录，得到平均耗油量观测值为 28 ，假设该节能型汽车的耗 油量 $X \sim N(\mu, 9)$ ，请问在显著性水平 $\alpha=0.05$ 假定下，能否接受耗油量低29mpg的 假设；若显著性水平为 $\alpha=0.1$ ，则结论又有会有变化吗?
解：建立假设 $H_0: \mu \geq 29 \leftrightarrow H_1: \mu<29$
给出末知参数 $\mu$ 的估计值 $\hat{\mu}=\bar{x}=28$ ，

$$
p=P\left(\bar{X}<28 \mid H_0 \text { 成立 }\right)=P\left(\frac{\bar{X}-29}{3} \sqrt{16}<\frac{28-29}{3} \sqrt{16}\right)=P\left(\frac{\bar{X}-29}{3} \sqrt{16}<-1.33\right)=0.0918
$$

当显著性水平 $\alpha=0.05$ 时， $0.0918>0.05$ ，故不能拒绝 $H_0$ ，认为耗油量不低于 $29 \mathrm{mpg}$ 。
当显著性水平 $\alpha=0.1$ 时， $0.0918<0.1$,故拒绝 $H_a$ 认为耗油量低于 $29 \mathrm{mpg}$ 。

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