单正态总体均值的假设检验

日期: 2023-10-01 11:28 查看: 18 次更新导出Word

设 $\left(X_1, X_2 \cdots, X_n\right)$ 是取自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的一个样本，给定显著性水平为 $\boldsymbol{\alpha}$ ，
且样本均值为 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ，样本方差 $S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$

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01方差 $\sigma^2$ 已知时的均值 $\mu$ 检验
02 方差 $\sigma^2$ 末知时的均值 $\mu$ 检验
(1) 方差 $\sigma^2$ 已知时的均值 $\mu$ 检验
首先，建立原假设 $H_0$ 和备择假设 $H_1$ ，设 $H_0: \mu=\mu_0 \leftrightarrow H_1: \mu \neq \mu_0$ 其次，估计 $\hat{\mu}=\bar{X}$;
然后，构造检验统计量: $Z=\left.\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma} \sqrt{n}\right|_{H_0 \text { 成立 }} \sim N(0,1)$
接着，给出拒绝域的构造形式: $W=\{|Z|>c\}$
$c$ 要满足: $\quad P\left(|Z|>\left.c\right|_{\mu=\mu_0}\right) \leq \alpha$
取 $\quad c=u_{1-\frac{\alpha}{2}}$
拒绝域为: $\quad W=\left\{|Z|>u_{1-\frac{\alpha}{2}}\right\}=\left\{\left|\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma} \sqrt{n}\right|>u_{1-\frac{\alpha}{2}}\right\}$

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$c$ 要满足: $\quad P\left(|T|>\left.c\right|_{\mu=\mu_0}\right) \leq \alpha$
取

$$
\begin{array}{ll}
\text { 取 } & c=t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1) \\
\text { 拒绝域为: } & W=\left\{|T|>t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\right\}=\left\{\left|\frac{\bar{X}-\mu_0}{S} \sqrt{n}\right|>t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\right\}
\end{array}
$$

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例2
从某厂生产的电子元件中随机地抽取了 25 个作寿命测试，得数据（单位: $\mathrm{h}$ ): $x_1, \cdots \cdots, x_{25}$ ，并由此算得 $\bar{x}=100 ， \sum_{i=1}^{25} x_i^2=4.9 \times 10^5$ ，已知这种电子元件的使用寿 命服从 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，且出厂标准为 $90 \mathrm{~h}$ 以上，试在显著水平 $\alpha=0.05$ 下，检验该厂 生产的电子元件是否符合出厂标准，即检验假设 $H_0: \mu \leq 90 \leftrightarrow H_1: \mu>90$.
解 首先这是一个关于正态总体均值的单侧 (右侧) 假设检验问题, $H_1: \mu>90$.
由于 $\sigma$ 末知，故采用 $t$-检验，拒绝域为 $W=\left\{T>t_{1-\alpha}(n-1)\right\}$

$$
s^2=\frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^n x_i^2-n \bar{x}^2\right)=\frac{1}{24}\left(4.9 \cdot 10^5-25 \cdot 10^4\right)=\frac{24 \cdot 10^4}{24}=10^4
$$

所以样本标准差的观察值 $s=100, t$ 检验统计量的观察值为

$$
t=\frac{5(\bar{x}-90)}{s}=\frac{5 \cdot 10}{100}=0.5
$$

临界值 $c=t_{1-\alpha}(n-1)=t_{095}(24)=1.7109$. 因 $t<c$ ，不落入拒绝域，不能拒绝 $H_0$ ， 即该厂生产的电子元件不符合出厂标准.

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