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两个正态总体方差比的假设检验

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01均值 $\mu_1, \mu_2$ 已知时的方差比检验 $\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}$
02均值 $\mu_1, \mu_2$ 末知时的方差比检验 $\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}$
实际情况中，我们通常假定均值 $\mu_1, \mu_2$ 是末知的，因此只讨论第二种情况.

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例8
为比较新老品种的肥料对作物的效用有无显著差别，选用了各方面条件相同的 10
个地块种上此作物. 随机选用其中 5 块施上新肥料，而剩下的 5 块施上老肥料. 等到收 获时观察到施新肥的地块，平均年产 333(单位：干斤)，年产量的方差为 32(单位: 千 $斤^2$ )，施老肥的地块平均年产 330(单位: 千斤)，年产量的方差为 40(单位: 千斤 ${ }^2$ ). 假 设作物产量服从正态分布，检验新肥是否比老肥效用上有显著提高（显著性水平 $\alpha=0.10)$.
解 设 $X$ 为施新肥地块的产量， $Y$ 为老肥地块的产量， $X_1, \cdots \ldots, X_5 ， Y_1, \cdots \ldots . Y_5$ 分 别是来自 $X$ 及 $Y$ 的样本， $X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1{ }^2\right) ， Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_2{ }^2\right) ， H_0: \mu_1 \leq \mu_2 \leftrightarrow H_1: \mu_1>\mu_2$. 这 是单侧（右侧）检验问题，但还不能直接进行两样本 T-检验，因为我们还不 知道 $\sigma_1{ }^2=\sigma_2{ }^2$ 是否成立.
为此先要做一个关于两个总体的方差相等的假设检验，即检验

$$
H_0: \sigma_1^2=\sigma_2^2 \leftrightarrow H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2
$$

只有当该检验的原假设没有被拒绝的前提下，才能继续用 T-检验的方法检验 均值差的假设检验。
为了避免当 $\sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$ 成立时而错误地认为 $\sigma_1^2=\sigma_2^2$ ，即希望第二类错误概率小一些，由于 两类错误概率的此消彼长性，不妨将该检验的显著性水平 $\alpha$ 取大一些，比如取 $\alpha=0.5$.
注意到， $H_0$ 的拒绝域为:

$$
W=\left\{\frac{S_X^2}{S_Y^2}<F_{\frac{\alpha}{2}}(m-1, n-1) \text { 或 } \frac{S_X^2}{S_Y^2}>F_{1-\frac{\alpha}{2}}(m-1, n-1)\right\}
注意到， $H_0$ 的拒绝域为:
$$

$$
W=\left\{\frac{S_X^2}{S_Y^2}<F_{\frac{\alpha}{2}}(m-1, n-1) \text { 或 } \frac{S_X^2}{S_Y^2}>F_{1-\frac{\alpha}{2}}(m-1, n-1)\right\}
$$

不妨取显著性水平 $\alpha=0.5$ ，则 $F_{0.75}(4,4)=2.06 ， F_{0.25}(4,4)=0.4854$. 今计算 $\mathrm{F}$ 检验统 计量 $\frac{S_X^2}{S_Y^2}$ 的观测值为 $F=0.8$ ，介于 $F_{0.25}(4,4)=0.4854$ 和 $F_{0.75}(4,4)=2.06$ 之间，因而不 能拒绝 $H_0$ ，即可以认为 $\sigma_1{ }^2=\sigma_2{ }^2$.

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