多元积分

日期: 2023-10-08 13:31 查看: 18 次更新导出Word

多元积分是分析中重要的内容，也是在物理等其它领域有重要应用的一部分。对于一个定义在某区域上的多元函数，我们可以像一元定积分那样定义多元定积分。在多元积分学中我们研究的函数大多数是性质较好的函数，因为这些函数在实际中有明确的应用背景。

## 概念

设有一个可度量的几何闭域 $\Omega$ ，在其上定义了一个多元函数 $f(M), \forall M \in \Omega$. 将 $\Omega$ 分为若干部分
$\Delta \Omega_i, i=1,2, \cdots, n$ 使其满足 $\Omega=\bigcup_{i=1}^n \Delta \Omega_i$ 且 $\Delta \Omega_i \cap \Delta \Omega_j=\varnothing, \forall i \neq j$ ，记 $\|\Delta\|=\max _{1 \leqslant i \leqslant n} d\left(\Delta \Omega_i\right)$ (所有分 割部分的直径的最大值，也叫分割的模），在 $\Delta \Omega_i$ 中任取一点 $M_i$ ，作下述积分和式

$$
\sum_{i=1}^n f\left(M_i\right) \Delta \Omega_i
$$

如果上述和式在 $\|\Delta\| \rightarrow 0$ 时对任意的分割方法和任意的 $M_i \in \Delta \Omega_i$ 都有唯一的有限值，我们就说函数 $f(M)$ 在 $\Omega$ 上 Riemann 可积，积分和式的极限叫作 $f(M)$ 在 $\Omega$ 上的定积分（Riemann 积分），记作

$$
\int_{\Omega} f(M) \mathrm{d} \Omega=\lim _{\|\Delta\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(M_i\right) \Delta \Omega_i
$$

## 特殊情形 。

多元定积分的这一定义，和一元定积分颇有相似，我们有如下特殊情形

1. 当 $\Omega$ 为实数上的有限区间 $[a, b]$ ，且 $f(x):[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^1$ ，上述积分即为一元定积分

$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x
$$

2. 当 $\Omega$ 为实平面上的有界闭域 $D$ ，且 $f(\boldsymbol{x}): D \rightarrow \mathbb{R}^1$ ，上述积分即为二重积分

$$
\iint_D f(\boldsymbol{x}) \mathrm{d} \sigma .
$$

3. 当 $\Omega$ 为实三维空间内的有界闭域 $V$ ，且 $f(x): V \rightarrow \mathbb{R}^1$ ，上述积分即为三重积分

$$
\iiint_V f(\boldsymbol{x}) \mathrm{d} \tau
$$

4. 当 $\Omega$ 为 $d$ 维空间内的有界闭域 $V$ ，且 $f(x): V \rightarrow \mathbb{R}^1$ ，上述积分即为一般的 $d$ 重积分。
5. 当 $\Omega$ 为 $d$ 维空间内的有界曲线 $l$ ，且 $f(\boldsymbol{x}): l \rightarrow \mathbb{R}^1$ ，上述积分即为第一型曲线积分

$$
\int_l f(\boldsymbol{x}) \mathrm{d} l .
$$

6. 当 $\Omega$ 为 $d$ 维空间内的有界曲面 $\Sigma$ ，且 $f(x): \Sigma \rightarrow \mathbb{R}^1$ ，上述积分即为第一型曲面积分

$$
\iint_{\Sigma} f(\boldsymbol{x}) \mathrm{d} \sigma
$$

7. 当 $\Omega$ 为三维空间内的定向光滑 (或逐段光滑) 定向曲线 $\boldsymbol{L}$ ，且 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}): \boldsymbol{L} \rightarrow \mathbb{R}^3$ 为定义在 $\boldsymbol{L}$ 上的向量函数 (映 射) 时，上述积分即为第二型曲线积分

$$
\int_L \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{s}
$$

8. 当 $\Omega$ 为三维空间内的定向光滑 (或逐段光滑) 定向曲面 $\boldsymbol{S}$ ，且 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}): \boldsymbol{S} \rightarrow \mathbb{R}^3$ 为定义在 $\boldsymbol{S}$ 上的向量函数 (映 射) 时，上述积分即为第二型曲面积分

$$
\iint_S f(x) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} .
$$

后两个积分为向量积分，它们在物理的力学和电磁学中有重要应用，其定义虽也是分割求和取极限，但需要用到向量 的内积等运算。

## 性质。

可以仿照一元定积分得出下述多元定积分的相关性质，为叙述方便我们总假设下述积分有意义。

1. 积分对被积函数的线性性:

$$
\int_{\Omega}[a f(M)+b g(M)] \mathrm{d} \Omega=a \int_{\Omega} f(M) \mathrm{d} \Omega+b \int_{\Omega} g(M) \mathrm{d} \Omega, \quad a, b \in \mathbb{R} .
$$

2. 积分对积分区域的可加性（进而可以推出有限可加性）：

$$
\int_{\Omega} f(M) \mathrm{d} \Omega=\int_{\Omega_1} f(M) \mathrm{d} \Omega+\int_{\Omega_2} f(M) \mathrm{d} \Omega, \quad \Omega=\Omega_1+\Omega_2 .
$$

3. 可积一定可以推出绝对可积 (但反之未必)，且有:

$$
\left|\int_{\Omega} f(M) \mathrm{d} \Omega\right| \leqslant \int_{\Omega}|f(M)| \mathrm{d} \Omega .
$$

4. 积分的保序性: 若 $f(M) \leqslant g(M), \forall M \in \Omega$ ，那么有

$$
\int_{\Omega} f(M) \mathrm{d} \Omega \leqslant \int_{\Omega} g(M) \mathrm{d} \Omega .
$$

## 积分中值定理

积分第一中值定理：设 $m(\Omega)$ 为 $\Omega$ 的测度，那么存在常数 $c$ 使得

$$
\int_{\Omega} f(M) \mathrm{d} \Omega=c \int_{\Omega} \mathrm{d} \Omega=c \cdot m(\Omega) .
$$

进一步，如果 $f(M)$ 是 $\Omega$ 上的连续函数，那么由连续函数的介值定理得到，存在 $M_0 \in \Omega$ ，使得

$$
f\left(M_0\right)=\frac{1}{m(\Omega)} \int_{\Omega} f(M) \mathrm{d} \Omega .
$$

设 $f(M)$ 是 $\Omega$ 上的连续函数， $g(M)$ 是 $\Omega$ 上的连续保号函数，那么存在点 $P \in \Omega$ ，成立下式

$$
\int_{\Omega} f(M) g(M) \mathrm{d} \Omega=f(P) \int_{\Omega} g(M) \mathrm{d} \Omega .
$$

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