拉格朗日插值

日期: 2023-10-12 08:03 查看: 27 次更新导出Word

在数值分析中，Lagrange 插值是一种简单地逼近函数的方法，Neville 插值以及著名的 Newton 插值都是基于 Lagrange 插值给出的改进方法。

## 问题提出

该问题的背景是: 一个函数 $f(x)$ 上有 $n+1$ 个样本点 $\left(x_i, y_i\right), i=0,1,2, \cdots, n$ ，样本点满足 $x_i \neq x_j, i \neq j$ ， 现要寻找一次数不大于 $n$ 次的多项式 $p_n$ ，使得它经过以上样本点。
称 $f(x)$ 为被插函数， $p_n$ 为插值多项式，以上问题称作关于节点 $\left(x_i, y_i\right), i=0,1,2, \cdots, n$ 的 Lagrange 插值问 题。
可以证明，寻找的多项式 $p_n$ 存在且唯一。证明是构造性的，证明存在性的同时我们也找出了 $p_n$.
如果我们要求的多项式次数比 $n$ 小，可能不存在这样的多项式；如果我们要求的多项式次数比 $n$ 大，则可能不唯一。

## 插值公式

假设同上，那么插值多项式为

$$
p_n=\sum_{i=0}^n y_i \frac{\omega_n(x)}{\left(x-x_i\right) \omega_n^{\prime}\left(x_i\right)}
$$

其中

$$
\omega_n(x)=\prod_{j=0}^n\left(x-x_j\right), \quad \omega^{\prime}\left(x_i\right)=\prod_{\substack{j=0 \\ j \neq i}}^n\left(x_i-x_j\right)
$$

特别地有线性插值公式

$$
p_1=y_0 \frac{\left(x-x_1\right)}{\left(x_0-x_1\right)}+y_1 \frac{x-x_0}{x_1-x_0} .
$$

函数

$$
l_i(x)=\frac{\omega_n(x)}{\left(x-x_i\right) \omega_n^{\prime}\left(x_i\right)}=\prod_{\substack{j=0 \\ j \neq i}}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j}, \quad i=0,1, \cdots, n
$$

被称为插值的基函数，这时

$$
p_n=\sum_{i=0}^n y_i l_i(x)
$$

## 数值效用

假设样本点的个数为 $n$ ，那么使用该方法算术复杂度为 $O\left(n^2\right)$ ，且样本点发生变化 (如增加样本点意图提高插值精确 性) 时必须重新计算，不具有承袭性。
由此在此基础上又发展出了 Neville 插值方法和 Newton 插值方法。
对于 Lagrange 插值的误差分析，假设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上具有 $n$ 阶连续导数， $f^{(n+1)}(x)$ 在 $(a, b)$ 上存在，则上述插值 问题的误差为

$$
R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !} \prod_{i=0}^n\left(x-x_i\right), \xi \in(a, b)

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