微分

日期: 2023-10-18 14:15 查看: 14 次更新导出Word

微分是数学分析中的一个重要概念，在一元实函数领域发挥着重要的作用，它的本质是以直代曲，或者说，借助高阶无穷小近似一个函数的线性主部，也就是局部线性化。

对于多元函数的情形，微分有相应的推广，即全微分；对于向量值函数的情形，全微分也可以推广为导映射，详见向量值函数的微分。

## 定义

在函数 $f(x)$ 的定义域中，设自变量 $x$ 有一个改变量 $\Delta x$ ，此时因变量也对应了一个改变量

$$
\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)
$$

在 $\Delta x \rightarrow 0$ 时如果上式可以写作下式

$$
\Delta y=A \Delta x+o(\Delta x)
$$

其中， $A$ 是仅和 $x$ 有关的常数，我们就称 $f(x)$ 在 $x$ 一点是可微的。
同时，我们记 $\mathrm{d} y=A \Delta x$ ，它便称作 $f(x)$ 在 $x$ 点的微分。

## 与导数的关系

可以证明，一元实函数可导与可微是等价的，且有 $\mathrm{d} y=f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $\mathrm{d} x=\Delta x(\Delta x \rightarrow 0)$ ，需要注意的是，微分 $\mathrm{d} y$ 是 $x$ 以及 $\mathrm{d} x$ 的函数，它不仅仅与 $x$ 有关。
在明确一元实函数导数及微分的关系之后，我们可以借助导数的知识来解决微分问题，例如 $\mathrm{d}\left(x^2\right)=2 x \mathrm{~d} x$ 此外，导数的表示 $f^{\prime}(x)=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 不再仅仅是形式记号，它可以是由微分进行简单的运算得到的一种新的等价表示方法。

## 一阶微分的形式不变性

对于一阶微分来说，有一个重要的特性-一形式不变性，它在一元实函数的相关问题中占有很重要的一席之地。
设有复合函数 $y=f(u), u=g(x)$ ，由复合函数求导法则，有

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) .
$$

进一步，由微分与导数的关系，有

$$
\mathrm{d} y=f^{\prime}(g(x)) g^{\prime}(x) \mathrm{d} x=f^{\prime}(g(x)) \mathrm{d} g(x)=f^{\prime}(u) \mathrm{d} u .
$$

这就是一阶微分的形式不变性，但要注意通常高阶微分不具有形式不变性。

## 高阶微分。

像高阶导数那样，我们也可以定义函数 $f(x)$ 高阶微分，用递归的方法，先定义二阶微分

$$
\mathrm{d}^2 y=\mathrm{d}(\mathrm{d} y)=\mathrm{d}\left(y^{\prime} \mathrm{d} x\right)=y^{\prime \prime} \mathrm{d} x^2 .
$$

上式中 $(\mathrm{d} x)^2$ 在不引起混淆的情况下也记作 $\mathrm{d} x^2$.
$f(x)$ 的 $n$ 阶微分定义为

$$
\mathrm{d}^n y=\mathrm{d}\left(\mathrm{d}^{n-1} y\right)=y^{(n)} \mathrm{d} x^n .
$$

有限增量公式
在很多问题中，使用有限增量公式会使问题变得简单，设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可微，那么在该点的某邻域中有限增量公式的基本形式为

$$
\Delta y=f^{\prime}\left(x_0\right) \Delta x+\omega(x) \Delta x .
$$

其中 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \omega(x)=\omega\left(x_0\right)=0$. 其优点是该等式易于控制，微分中的小。记号不便于进行运算。它还可以写为

$$
f(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\omega(x)\left(x-x_0\right)
$$

其中 $\lim _{x \rightarrow x_0} \omega(x)=\omega\left(x_0\right)=0$.

上一篇：导数

下一篇：对数求导法

知识库是科数网倾心打造的大型数学知识网站，欢迎各位老师、数学爱好者加入,联系微信 18155261033，制作不易，也欢迎赞助本站。