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非负函数的广义积分与级数的联系

## 11.3.3  非负函数的广义积分与级数的联系
这方面只介绍关于无界区间上广义积分的一个结果．
定理 11.7 设 $f$ 在 $[a,+\infty)$ 上非负，且以 $+\infty$ 为惟一奇点，数列 $\left\{b_n\right\}$ 是单调增加的无穷大量，$b_1=a$ ，则

广义积分 $\int_a^{+\infty} f(x) d x$ 收敛 $\Longleftrightarrow$ 无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \int_{b_n}^{b_{n+1}} f(x) d x$ 收敛．
且在收玫时广义积分的值与无穷级数之和相等。
证 不妨设 $b_1=a$ ．令 $F(A)=\int_a^A f(x) d x$ ，则由于被积函数 $f$ 非负，$F$ 是在 $[a,+\infty)$ 上的单调增加函数．广义积分 $\int_a^{+\infty} f$ 收玫等价于函数 $F$ 有上界．

又记右边的无穷级数部分和数列为
$$
S_n=\sum_{k=1}^n \int_{b_k}^{b_{k+1}} f(x) d x=\int_a^{b_{n+1}} f(x) d x,
$$

则同样由于 $f$ 非负知道上述无穷级数是非负项级数（见 $\S 2.3 .4$ ），因此部分和数列 $\left\{S_n\right\}$ 单调增加．这时无穷级数收敛等价于 $\left\{S_n\right\}$ 有上界（见定理 2．18）．

由 $f$ 非负可见，若 $F$ 在 $[a,+\infty)$ 上有上界 $M$ ，则也有 $S_n \leqslant M \forall n$ ．另一方面，若 $\left\{S_n\right\}$ 有上界 $M$ ，则对每个 $A \geqslant a$ ，存在 $n$ ，使得 $A \leqslant b_{n+1}$ ，从而 $F(A) \leqslant S_n \leqslant M$ ，即 $F$ 也以 $M$ 为上界．这样就证明了广义积分和无穷级数同玫散．

在收玫情况二者的极限都等于它们的上确界．由于它们的上界集合相同，因此定理中的广义积分的值就等于无穷级数的和。

注 定理中从左边推到右边实际上只是第四章中关于 $x \rightarrow+\infty$ 的 Heine 归结原理的推论。

下面举几个例子，其中的广义积分玫散性是用无穷级数来解决的．
例题 11.34 重新证明例题 11.31 中的后一半，即积分 $\int_0^{+\infty} \frac{|\sin x|}{x} d x$ 发散．
证 取 $b_n=n \pi \forall n$ ，则所讨论的广义积分的玫散性与正项无穷级数 $\sum_{n=0}^{\infty} u_n$ 的玫散性相同，其中
$$
u_n=\int_{n \pi}^{(n+1) \pi} \frac{|\sin x|}{x} d x \geqslant \frac{1}{(n+1) \pi} \int_{n \pi}^{(n+1) \pi}|\sin x| d x=\frac{2}{(n+1) \pi}
$$

利用调和级数发散（见例题 2．32），可见广义积分 $\int_0^{+\infty} \frac{|\sin x|}{x} d x$ 发散．
注 这里利用了函数 $|\sin x|$ 是周期为 $\pi$ 的周期函数，因此在 $[n \pi,(n+1) \pi]$ 上的积分值与在 $[0, \pi]$ 上的积分值相等，然后又利用 $\sin x$ 在 $[0, \pi]$ 上关于 $x=\frac{\pi}{2}$ 为偶函数，因此就知道 $\int_{n \pi}^{(n+1) \pi}|\sin x| d x=2$ ．当然也可以通过积分的变量代换得到这个结果。此外，在下一个例题中也有类似之处，即函数 $\sin ^2 x$ 也是周期 $\pi$ 的周期函数，在 $[0, \pi]$ 上关于 $x=\frac{\pi}{2}$ 也是偶函数，从而使得有关的积分估计变得容易了。

例题 11.35 讨论广义积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x d x}{1+x^6 \sin ^2 x}$ 的敛散性．
解 取 $b_n=n \pi \forall n$ ，所讨论的广义积分的敛散性与无穷级数 $\sum_{n=0}^{\infty} u_n$ 相同，其中的通项 $u_n$ 可估计如下：

$$
\begin{aligned}
u_n & =\int_{n \pi}^{(n+1) \pi} \frac{x d x}{1+x^6 \sin ^2 x} \leqslant(n+1) \pi \int_{n \pi}^{(n+1) \pi} \frac{d x}{1+(n \pi)^6 \sin ^2 x} \\
& =2(n+1) \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{1+(n \pi)^6 \sin ^2 x} \text { (然后利用例题 } 8.17 \text { 的 Jordan 不等式) } \\
& \leqslant 2(n+1) \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{1+(n \pi)^6\left(4 / \pi^2\right) x^2} \\
& \left.=2(n+1) \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{1+4 n^6 \pi^4 x^2} \text { (作代换 } \theta=2 n^3 \pi^2 x \text { 并将积分上限放宽为 }+\infty\right)
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& <\frac{2(n+1) \pi}{2 n^3 \pi^2} \int_0^{+\infty} \frac{d \theta}{1+\theta^2} \\
& =\frac{n+1}{n^3 \pi} \cdot \frac{\pi}{2} \leqslant \frac{1}{n^2} .
\end{aligned}
$$

最后利用无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收玫，可见本题的广义积分收玫．
注 将这个例题中的被积函数记为 $f(x)$ ，则可见在 $[0,+\infty)$ 上 $0 \leqslant f(x) \leqslant x$ ， $f(n \pi)=n \pi \forall n \in N$ 。因此 $y=f(x)$ 的图像与例题 11.12 中的被积函数图像（见图 11．4）非常相似．但这里的 $f$ 不但连续，而且可微．从例题 11.14 可见，$f$ 在 $[0,+\infty)$上不是一致连续函数．当然也容易直接证明这一点．（请读者作出 $f$ 的图像．）

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