椭圆的切线方程

日期: 2023-11-03 22:05 查看: 26 次更新导出Word

（1）方法一：求导法。

若 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上, 则过 $P_0$ 的椭圆的切线方程是 $\frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}=1$.
且斜率为 $\mathrm{K}=-\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$.

![图片](/uploads/2023-11/image_20231103194823c.png)

证明：对 ${x}$ 求导可得 $\frac{2 x}{a^2}+\frac{2 y y^{\prime}}{b^2}=0$,
所以 $\mathrm{y}^{\prime}=-\frac{x_0 b^2}{y_0 a^2}$,
所以切线方程为 $\mathrm{y}-\mathrm{y}_0=-\frac{x_0 b^2}{y_0 a^2}\left(\mathrm{x}-\mathrm{x}_0\right)$,

即 $\mathrm{y}_0 \mathrm{ya}^2-\mathrm{y}_0{ }^2 \mathrm{a}^2=-\mathrm{xx}_0 \mathrm{~b}^2+\mathrm{x}_0{ }^2 \mathrm{~b}^2$,

又 $\frac{x_0{ }^2}{a^2}+\frac{y_0{ }^2}{b^2}=1$,

即 $\mathrm{y}_0 \mathrm{ya}^2+\mathrm{xx}_0 \mathrm{~b}^2=\mathrm{y}_0{ }^2 \mathrm{a}^2+\mathrm{x}_0{ }^2 \mathrm{~b}^2=\mathrm{a}^2 \mathrm{~b}^2$,

即 $\frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}=1$ ，

所以过 $\mathrm{P}_0$ 的榄圆的切线方程是 $\frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}=1$.

（2）方法二：斜率法。
如下图

![图片](/uploads/2023-11/60d7fe.jpg){width=300px}

因为 $O M \perp l$, 所以 $k_{O M} \cdot k=-1$.
$k_{O M}=\frac{y_0}{x_0}$,可求出 $k=-\frac{x_0}{y_0}$.
因此可求出切线方程为 $y-y_0=-\frac{x_0}{y_0}\left(x-x_0\right)$.
做一下化简可得到更简洁的形式

$$
\begin{gathered}
y_0 \cdot y-y_0^2=-x_0 \cdot x+x_0^2 \\
x_0 \cdot x+y_0 \cdot y=x_0^2+y_0^2=r^2
\end{gathered}
$$

**例题**: 已知椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ ，点 $M\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ 为椭圆上一点，求过点 $M$ 的切线.
解法1：利用导数法
可以直接套用上面得到的结果 $\frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b_2}=1$
得到切线方程为 $\frac{\sqrt{3} x}{4}+y=1$.

解法2：利用斜率法
设切线斜率为 $k$. 由定理可得 $k_{O M} \cdot k=-\frac{a^2}{b^2}=-\frac{1}{4}$ ，易求得 $k_O M=\frac{1}{2 \sqrt{3}}$, 因此可求出 $k=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

因此切线方程为: $y-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}(x-\sqrt{3})$.

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