最后更新: 2025-04-12 17:07 查看: 464 次反馈刷题

直线与椭圆的位置关系

## 直线与椭圆的位置关系

在椭圆的两个标准方程里，
当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1，(a>b>0) $；

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：$\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1，(a>b>0) $；

要分清焦点在在$x$轴或者$y$轴，只要看 $x^2$与 $y^2$ 分母的大小。

谁的分母大，焦点就在谁的轴上。

①联立直线方程与椭圆方程；消元得出关于$x$(或$y$)的一元二次方程；
②当$\Delta＞0 $时，直线与椭圆相交；
当 $ \Delta=0 $ 时，直线与椭圆相切；
当 $\Delta＜0 $ 时，直线与椭圆相离

![图片](/uploads/2025-04/54806d.jpg)
 
`例`设直线与椭圆的方程分别为 $2 x-y=b$ 与 $\frac{x^2}{75}+\frac{y^2}{25}=1$ ，当 $b$ 为何值时，它们满足下列关系：
（1）直线与椭圆有且只有一个公共点；
（2）直线与椭圆有两个公共点；
（3）直线与椭圆没有公共点．
解 如图 2－2－9，当 $b$ 变化时，方程 $2 x-y=b$ 表示的是斜率为 2 的一组平行线．由直线的方程得 $y=2 x-b$ ，代入椭圆的方程后整理得

![图片](/uploads/2025-04/c427c5.jpg)
 
$$
13 x^2-12 b x+3 b^2-75=0
$$

此一元二次方程根的判别式

$$
\Delta=(12 b)^2-4 \times 13\left(3 b^2-75\right)=12\left(325-b^2\right)
$$

由此可知：
（1）当 $\Delta=0$ ，即 $b= \pm \sqrt{325}= \pm 5 \sqrt{13}$ 时，直线与椭圆只有一个公共点．
（2）当 $\Delta>0$ ，即 $-5 \sqrt{13}<b<5 \sqrt{13}$ 时，直线与椭圆有两个公共点．
（3）当 $\Delta<0$ ，即 $b>5 \sqrt{13}$ 或 $b<-5 \sqrt{13}$ 时，直线与椭圆没有公共点．

例  中的（1），直线与椭圆有且只有一个公共点．一般地，如果一条直线与一个椭圆有且只有一个公共点，就说这条直线与这个**椭圆相切**，这条直线称为这个椭圆的切线．显然，如果椭圆
的标准方程是 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ ，那么直线 $x= \pm a, y= \pm b$都是这个椭圆的切线，其切点分别为椭圆的四个顶点．

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做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

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