最后更新: 2025-04-14 18:56 查看: 428 次反馈刷题

一元二次方程

> 一元二次方程在初中已经学过，考虑一元二次方程在数学里占用重要地位，这里以重温为主。
## 一元二次方程
如果方程只有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 ，这样的方程叫做一元二次方程，其基本形式是：

$$
a x^2+b x+c=0
$$

其中，$a, b, c$ 是常数，且 $a \neq 0$ 。
类似的，只有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的不等式叫做一元二次不等式，其基本形式是：

$$
a x^2+b x+c>0 \text { 或 } a x^2+b x+c<0
$$

其中，$a, b, c$ 是常数，且 $a \neq 0$ 。
初中已经学习了二次函数的基本知识，其基本形式是：

$$
y=a x^2+b x+c
$$

其中，$a, b, c$ 是常数，且 $a \neq 0$ 。

二次函数，一元二次方程，一元二次不等式都有相同的表达式 $a x^2+b x+c$ ，只是其余的部分不同。现在从表达式 $a x^2+b x+c$ 出发，建立二次函数，一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
- 元二次方程
- 元二次方程有两种基本解法：因式分解法和配方法，其中因式分解法更简便，配方法更普遍适用且能反映方程的特点。

例 1 解一元二次方程 $x^2-8 x-20=0$ 。
解析：因式分解法：
常数项 $-20=-10 \times 2$ ，一次项系数 $-8=-10+2$ ，对等式的左边进行因式分解：

$$
\begin{aligned}
& (x-10)(x+2)=0, \\
& x-10=0 \text { 或 } x+2=0,
\end{aligned}
$$

$$
x_1=10, x_2=-2 \text { 。 }
$$

配方法：
将等式的左边凑成完全平方公式的标准形式：

$$
\begin{aligned}
& x^2-8 x+16-36=0, \\
& (x-4)^2=36, \\
& x-4=6 \text { 或 } x-4=-6, \\
& x_1=10, x_2=-2 。
\end{aligned}
$$

虽然因式分解法更简便，但需要对因数（式）分解很熟悉。配方法的思路更直白，即＂凑完全平方公式＂，适用于所有一元二次方程。利用配方的过程，可以推导出一元二次方程的通解公式，根的判别式，韦达定理。

## 一元二次方程的解
一元二次方程$a x^2+b x+c =0$ 的解为：

$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}$

$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}$

如果令$\Delta=b^2-4 a c$  
(1) 当 $\Delta=b^2-4 a c>0$ 时, 方程的解集为

$$
\left\{\frac{-b+\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}, \frac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\right\}
$$

(2) 当 $\Delta=b^2-4 a c=0$ 时, 方程的解集为 $\left\{-\frac{b}{2 a}\right\}$;

(3)当 $\Delta=b^2-4 a c<0$ 时，方程的解集为 $\varnothing$.

## 根与系数的关系(韦达定理)

韦达定理也被称作一元二次方程根与系数的关系。我们知道, 当一元二次方程 $a x^2+b x+c=0(a \neq 0)$ 的解集不是空集时, 这个方程的解可以记为

$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}$, 
$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}$

可以发现
$ {x}_1+{x}_2=-\frac{b}{a} ①$
和
$x_1 x_2=\frac{c}{a} ②$

这一结论通常称为一元二次方程根与系数的关系.

## 一元二次不等式
一元二次不等式的解法与一元二次方程类似，也有因式分解法和配方法两种，并且这两种解法的特点也与一元二次方程类似：因式分解法更简便，配方法更普遍适用且能反映不等式的特点。
现在使用配方法分析一元二次不等式的一般特点，对于一元二次不等式：

$$
a x^2+b x+c<0 \text { 和 } a x^2+b x+c>0(a \neq 0)
$$

首先，只需考虑 $a>0$ 的情况，这是因为如果 $a<0$ ，那么令 $a x^2+b x+c<0$ 的两边同时乘以 -1 ，得到 $-a x^2-b x-c>0$ ，这等同于 $a x^2+b x+c>0(a>0)$ 的情况。另一种不等号的情况同理。

对于 $a x^2+b x+c<0(a>0)$ ，通过配方将不等式的左边凑成完全平方项：

$$
\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^2<\frac{b^2-4 a c}{4 a^2}
$$

不等式的左边是完全平方项，恒为正数或 0 ；不等式的右边：
当 $b^2-4 a c<0$ 时，不等式的右边是负数，不等式不可能成立，解集为 $\varnothing$ ；当 $b^2-4 a c=0$ 时，不等式的右边等于 0 ，不等式不可能成立，解集为 $\varnothing$ ；当 $b^2-4 a c>0$ 时，不等式的右边是正数，对不等式的两边取平方根，解集为：

$$
\frac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}<x<\frac{-b+\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}
$$

对于 $a x^2+b x+c>0(a>0)$ ，通过配方将不等式的左边凑成完全平方项：

$$
\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^2>\frac{b^2-4 a c}{4 a^2}
$$

不等式的左边是完全平方项，恒为正数或 0 ；不等式的右边：

当 $b^2-4 a c<0$ 时，不等式的右边是负数，不等式恒成立，解集为全体实数 $R$ ；当 $b^2-4 a c=0$ 时，不等式的右边等于 0 ，只需左边不为 0 ，解集为 $x \neq-\frac{b}{2 a}$ ；当 $b^2-4 a c>0$ 时，不等式的右边是正数，对不等式的两边取平方根，解集为：

$$
x>\frac{-b+\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \text { 或 } x<\frac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}
$$

开VIP会员

非会员每天6篇，会员每天16篇，VIP会员无限制访问

题库训练自我测评投稿

上一篇：没有了

下一篇：从函数角度看一元二次方程

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)