有理指数幂

日期: 2023-11-05 17:14 查看: 19 次更新导出Word

**整数指数幂**

一般地, $a^n$ 中的 $a$ 称为底数, $n$ 称为指数 ， 整数指数幂运算的运算法则有

**基本运算准则**

$① a^m a^n=a^{m+n} $
$② \left(a^m\right)^n=a^{m n} $
$③ (a b)^m=a^m b^m  $

例如 $2^3 * 2^4=2^7$

一般地, 给定大于 1 的正整数 $n$ 和实数 $a$, 如果存在实数 $x$, 使得

$$
x^n=a,
$$

则 $x$ 称为 $a$ 的 $n$ 次方根.
例如, 因为方程 $x^4=81$ 的实数解为 3 与 -3 , 所以 3 与 -3 都是 81 的 4 次方根; 因为 $2^5=32$, 而且 $x^5=32$ 只有一个实数解, 所以 32 的 5 次方根为 2 .
根据方程 $x^n=a$ 解的情况不难看出 :
(1) 0 的任意正整数次方根均为 0 , 记为 $\sqrt[n]{0}=0$.
(2) 正数 $a$ 的偶数次方根有两个, 它们互为相反数, 其中正的方根称为 $a$ 的 $n$ 次算术根, 记为 $\sqrt[n]{a}$, 负的方根记为 $-\sqrt[n]{a}$; 负数的偶数次方根在实数范围内不存在, 即当 $a<0$ 且 $n$ 为偶数时, $\sqrt[n]{a}$ 在实数范围内没有意义.
（3）任意实数的奇数次方根都有且只有一个, 记为 $\sqrt[n]{a}$. 而且正数的奇数次方根是一个正数, 负数的奇数次方根是一个负数.
当 $\sqrt[n]{a}$ 有意义的时候, $\sqrt[n]{a}$ 称为根式, $n$ 称为根指数, $a$ 称为被开方数.
注意, 虽然我们不知道 $\sqrt[5]{-2}$ 等的精确的小数形式 (计算器和计算机上给出的值都是近似值), 但是按照定义, 我们知道 $\sqrt[5]{-2}$ 的一些性质, 比如 $(\sqrt[5]{-2})^5=-2$ 等.
一般地, 根式具有以下性质:
(1) $(\sqrt[n]{a})^n=a$.
（2）当 $n$ 为奇数时, $\sqrt[n]{a^n}=a$; 当 $n$ 为偶数时, $\sqrt[n]{a^n}=|a|$.

**分数指数幂**
为了方便起见, 我们约定底数 $a>0$. 于是, 当 $a>0$ 时, 规定
$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}, $

$ a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m} \quad\left(n, m \in \mathbf{N}_{+}, \text {且 } \frac{m}{n} \text { 为既约分数 }\right) .$

需要注意的是, 上式在 $\frac{m}{n}$ 不是既约分数（即 $m, n$ 有大于 1 的公因数）时可能会有歧义. 例如, $(-8)^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{(-8)^2}$ 是有意义的, 而 $(-8)^{\frac{2}{6}}=(\sqrt[6]{-8})^2$ 是没有意义的. 因此, 以后无特别说明时, 我们都认为分数指数幂中的指数都是既约分数.
负分数指数幂的定义与负整数指数幂类似, 即 $a>0$ 时, 规定

$$
a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}\left(n, m \in \mathbf{N}_{+}\right) .
$$

现在我们已经将整数指数幂推广到了分数指数幂 (即有理数指数幂).一般情况下, 当 $s$ 与 $t$ 都是有理数时, 有运算法则:

$$
\begin{aligned}
& a^s a^t=a^{s+t}, \\
& \left(a^s\right)^t=a^{s t}, \\
& (a b)^s=a^s b^s .
\end{aligned}
$$

例题：

$$
\begin{aligned}
& 8^{\frac{3}{5}} \times 8^{\frac{2}{5}}=8^{\frac{3+2}{5}}=8^1=8, \\
& 8^{\frac{2}{3}}=\left(8^{\frac{1}{3}}\right)^2=2^2=4, \\
& 3 \sqrt{3} \times \sqrt[3]{3} \times \sqrt[6]{3}=3 \times 3^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{6}}=3^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=3^2=9, \\
& \left(a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{1}{4}}\right)^3=\left(a^{\frac{2}{3}}\right)^3\left(b^{\frac{1}{4}}\right)^3=a^2 b^{\frac{3}{4}}, \\
& \left(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}\right)=\left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2-\left(b^{\frac{1}{2}}\right)^2=a-b, \\
& \left(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}\right)^2=a+2 a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}+b .
\end{aligned}
$$

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