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指数对数与幂函数
幂函数的定义
日期:
2023-11-05 18:08
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幂函数的定义
初中我们已经学习了整数指数幂的知识, 例如 $$ \begin{aligned} & 2^5=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=32, \\ & 3^0=1 \\ & 5^{-3}=\frac{1}{5^3}=2 \end{aligned}, . $$ 一般地, $a^n$ 中的 $a$ 称为底数, $n$ 称为指数. 整数指数幂运算的运算法则有 $$ \begin{array}{ll} a^m \cdot a^n=a^{m+n} & a^m \div a^n=a^{m-n} \\ \left(a^m\right)^n=a^{m \cdot n}=\left(a^n\right)^m & (a b)^n=a^n \cdot b^n \\ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n} & \sqrt[n]{a^n}= \begin{cases}|a| & n \text { 为偶数 } \\ a & n \text { 为奇数 }\end{cases} \\ (\sqrt[n]{a})^n=a & a^{-p}=\frac{1}{a^p} \quad(a \neq 0) \\ a^0=1 \quad(a \neq 0) & \sqrt[m]{a^n}=a^{\frac{n}{m}} \end{array} $$ ## 幂函数的定义 幂函数的一般形式是 $$ y=x^a, $$ 其中, $a$ 可为任何常数,但中学阶段仅研究 $\mathrm{a}$ 为有理数的情形 (a为无理数时: $a > 0$ ,定义域为 $[0,+\infty) $, $ a < 0 $ ,定义域为 $(0,+\infty)$ ) , 幂函数可表示为 $y=x^{\frac{m}{n} \times(-1)^k}$ ,其中 $m, n , k \in \mathrm{N}^*$ ,且 $\mathrm{m}$ , $\mathrm{n}$ 互质。 二次和三次幂函数写成分数形式如下: $$ y={\sqrt{x}}= x^{\frac{1}{2}} $$ $$ y={\sqrt[3]{x^2}}= x^{\frac{2}{3}} $$ $$ y= x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{ x^{\frac{1}{2}} }= \frac{1}{ {\sqrt{x}} } $$ $$ y= x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{ x^{\frac{2}{3}} }= \frac{1}{ {\sqrt[3]{x^2}} } $$ 注意:请勿把幂函数和指数函数的定义混淆。 幂函数是 $y=x^a$ ,指数函数 $y=a^x$
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