日期: 2024-04-15 16:00 查看: 184 次编辑导出

指数函数的图像性质

指数函数是形式为

$$
y=a^x
$$

的数学函数，其中 $a$ 是底数，而 $x$ 是指数。

要求  $a$ 是常数, $a>0$ 且 $a \neq 1$ .

注意：请勿把幂函数和指数函数的定义混淆。
幂函数是  $y=x^a$ ，指数函数是 $y=a^x$

## 指数函数的图像

根据$a$的不同，指数函数的图像以$1$为分界点，分为递增与递减。

![图片](/uploads/2023-08/480a23.jpg)

## 指数函数的大小

在高考里，比较两个指数函数的大小是必考题。下图里给出了底数和指数随$x$变化而变化的趋势。
因此，必须记住这张图里指数函数的变化规律。

(1) 定义域是实数集 $\mathbf{R}$.
(2) 值域是 $(0,+\infty)$, 因此, 对任何实数 $x$, 都有 $a^x>0$,也就是说函数图象一定在 $x$ 轴的上方.
(3) 函数图象一定过点 $(0,1)$.
(4)
当 $a>1$ 时, $y=a^x$ 是增函数;
当 $0<a<1$ 时, $y=a^x$ 是减函数.

![图片](/uploads/2023-08/50204f.jpg)

![图片](/uploads/2023-08/image_202308298848a84.png)

## 牛刀小试

**例题1**：

比较$0.8^{5.1}$和$1.3^2$的大小。

解：
$0.8^{5.1}<0.8^0=1$ , 参考上图,  $a<1$ 时，$x$越大 , $y$ 值越小， 因为指数大的反而小;

$1=1.3^ 0<1.3^2$ ， 参考上图,  $a>1$ 时，$x$越大 , $y$ 值越大，因为指数大的则 大;

所以 $0.8^{ 5.1} <1.3^{2} $.

**例题2**

已知 $5^5<8^4, 13^4<8^5$. 设 $a=\log _5 3, b=\log _8 5, c=\log _{13} 8$,  写出$a,b,c$大小的关系

答案： $a<b<c$

**例3**
已知实数 $a, b$ 满足 $\left(\frac{3}{7}\right)^a>\left(\frac{3}{7}\right)^b$, 试判断 $6^a$ 与 $6^b$ 的大小.
解 因为函数 $y=\left(\frac{3}{7}\right)^x$ 在实数集 $\mathbf{R}$ 上是减函数, 所以由 $\left(\frac{3}{7}\right)^a>\left(\frac{3}{7}\right)^b$可知 $a<b$.
又因为 $y=6^x$ 在实数集 $\mathbf{R}$ 上是增函数, 所以

$$
6^a<6^b \text {. }
$$

###  函数图像

一些初等函数图像一定牢记于心，尤其是指数函数与对数函数图像的走势，如下图
  ![图片](/uploads/2024-04/a731f7.jpg)
注意这里面的 $a, b, c, d$ 指的是指数函数的底数，它们的大小关系是 $0<c<d<1<a<b$.你要是觉得不妥,或者不相信，你可以自己画条直线看一下，稍加计算便可得出结论.

![图片](/uploads/2024-04/ac92ff.jpg)
 上面的 $a, b, c, d$ 指的是对数函数的底数，它们的大小关系是 $0<c<d<1<a<b$ ，如果你觉得不相信，自己在 $(1,+\infty)$ 画一条坚线就行了，自我判别一下.

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