日期: 2023-11-05 19:01 查看: 130 次编辑导出

必然事件与互斥事件

**事件的包含与相等**
如果事件 $E$ 发生, 那么事件 $F$ 一定发生. 即如果教师选择了第 1 组, 那么 “选择了第 1 组或者第 2 组” 也就一定发生了.

一般地, 如果事件 $A$ 发生时, 事件 $B$ 一定发生, 则称 “ $A$ 包含于 $B$ ” (或 “ $B$ 包含 $A$ ”), 记作 $A \subseteq B$ (或 $B \supseteq A$ ), 这一关系可用图 5-3-2 表示.

![图片](/uploads/2023-11/image_202311051ad67d0.png)

**事件的和**
给定事件 $A, B$, 由所有 $A$ 中的样本点与 $B$ 中的样本点组成的事件称为 $A$ 与 $B$ 的和（或并), 记作

$$
A+B(\text { 或 } A \cup B) .
$$

事件 $A$ 与 $B$ 的和可以用如图 5-3-3 所示的阴影部分表示.

按照定义可知, 事件 $A+B$ 发生时, 当且仅当事件 $A$ 与事件 $B$ 中至少有一个发生.

![图片](/uploads/2023-11/image_20231105f0e1acd.png)

**事件的积**

给定事件 $A, B$, 由 $A$ 与 $B$ 中的公共样本点组成的事件称为 $A$ 与 $B$ 的积 (或交), 记作
$A B$ (或 $A \cap B$ ).
事件 $A$ 与 $B$ 的积可以用如图 5-3-4 所示的阴影部分表示.
按照定义可知, 事件 $A B$ 发生时, 当且仅当事件 $A$ 与事件 $B$ 都发生.
![图片](/uploads/2023-11/image_20231105090ae7f.png)

**事件的互斥**
给定事件 $A, B$, 若事件 $A$ 与 $B$ 不能同时发生, 则称 $A$ 与 $B$ 互斥, 记作

$$
A B=\varnothing \text { (或 } A \cap B=\varnothing \text { ), }
$$

这一关系可用图 5-3-5 表示.
不难看出：任意两个基本事件都是互斥的, $\varnothing$ 与任意事件互斥.
直观上可以看出, 当 $A$ 与 $B$ 互斥（即 $A B=$
图 5-3-5
$\varnothing)$ 时，有

$$
P(A+B)=P(A)+P(B),
$$

这称为互斥事件的概率加法公式.
一般地, 如果 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 是两两互斥的事件, 则

$$
P\left(A_1+A_2+\cdots+A_n\right)=P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)+\cdots+P\left(A_n\right) .
$$

![图片](/uploads/2023-11/image_20231105f56c519.png)

**事件的对立**
给定样本空间 $\Omega$ 与事件 $A$, 则由 $\Omega$ 中所有不属于 $A$ 的样本点组成的事件称为 $A$ 的对立事件, 记作 $\bar{A}$, 用集合的观点来看, $\bar{A}$ 是 $A$ 在 $\Omega$中的补集, 如图 5-3-6 所示. 如果 $B=\bar{A}$, 则称$A$ 与 $B$ 相互对立.
按照定义可知, 每次随机试验, 在事件 $A$ 与 $\bar{A}$ 中, 有一个发生, 而且只有一个发生. 注意到必然事件的概率为 1
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