样本空间与随机事件

日期: 2023-11-05 18:55 查看: 10 次更新导出Word

**样本点与样本空间**
我们把随机试验中每一种可能出现的结果, 都称为样本点, 把由所有样本点组成的集合称为样本空间（通常用大写希腊字母 $\Omega$ 表示）.

例如, 抛一枚硬币, 如果样本点记为 “出现正面” “出现反面”, 则样本间为
$\Omega=\{$ 出现正面, 出现反面 $\} ;$

**随机事件**

如果随机试验的样本空间为 $\Omega$, 则随机事件 $A$ 是 $\Omega$ 的一个非空真子集.而且: 若试验的结果是 $A$ 中的元素, 则称 $A$ 发生 (或出现等); 否则, 称 $A$不发生（或不出现等)。随机事件也可用自然语言描述.
例如, 掷一个骰子, 观察朝上的面的点数, 则样本空间

$$
\Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \text {. }
$$

此时: 若 $A=\{1,3,5\}$, 则 $A$ 就是一个随机事件, 而且 $A$ 可以用自然语言描述为 “出现的点数为奇数”; 若 $B$ 表示随机事件 “出现的点数为偶数”, 则

$$
B=\underline{3}
$$

如果掷骰子得到的点数为 3 , 则可知上述随机事件 $A$ 发生且随机事件 $B$ 不发生.
显然, 任何一个随机事件既有可能发生, 也有可能不发生.
另外, 任何一次随机试验的结果, 一定是样本空间 $\Omega$ 中的元素, 因此
可以认为每次试验中 $\Omega$ 一定发生, 从而称 $\Omega$ 为必然事件; 又因为空集 $\varnothing$ 不包含任何样本点, 所以可以认为每次试验中 $\varnothing$ 一定不发生, 从而称 $\varnothing$ 为不可能事件.

一般地, 不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件, 通常用大写英文字母 $A$, $B, C, \cdots$ 来表示事件. 因为事件一定是样本空间的子集, 从而可以用表示集合的维恩图来直观地表示事件, 如图 5-3-1 所示. 特别地,只含有一个样本点的事件称为基本事件.

事件既可以用集合表示, 也可以用自然语言描述, 在今后的学习中, 要特别注意两者之间的相互转化. 仍以上述掷一个股子的试验为例, 若记
$A$ : 出现的点数小于 $7, B$ : 出现的点数等于 9 ,则不难看出 $A=\Omega$, 是必然事件; $B=\varnothing$, 是不可能事件.
![图片](/uploads/2023-11/image_20231105e579257.png)

**事件的概率**
我们将不可能事件 $\varnothing$ 发生的概率规定为 0 , 将必然事件 $\Omega$ 发生的概率规定为 1 , 即

$$
P(\varnothing)=0, P(\Omega)=1 .
$$

即 $0<=P<=1$

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