最后更新: 2025-02-12 07:42 查看: 289 次反馈刷题

随机事件与样本空间的概念

## 随机事件
在自然界和人们的生产实践活动中，经常遇到各种各样的现象，这些现象大致可分为两类，一类是确定的，如＂地球围绕太阳转＂＂水从高处往低处流＂＂同性电荷必然相斥＂等等，这种在一定条件下必然发生（出现）的现象称为**确定性现象**．

在自然现象和社会现象中，还广泛存在着与确定性现象有着本质区别的另一类现象。例如，向上抛掷一枚硬币，事先无法确定它掉下来之后是＂正面朝上＂还是 ＂反面朝上＂；又如，司机驾驶汽车经过装有交通信号灯的路口前，也无法事先确定是碰到红灯，绿灯还是黄灯。这些现象的特点是：在条件相同的情况下，不同次的试验或观察会得到不同的结果，每一次试验或观察之前不能确定会出现哪种结果。我们把这种现象称为**随机现象**。

对随机现象进行试验，观察或观测称为**随机试验**。随机试验一般用大写字母 $E$表示。

对于一个随机试验，我们将该试验的每个可能结果称为**样本点**，常用 $\omega$（或带下标）表示。如抛掷一枚硬币时，其样本点可记为 $\omega_1=$＂正面朝上＂，$\omega_2=$＂反面朝上＂。

将随机试验所有样本点构成的集合称为此试验的**样本空间**，用 $\Omega$ 表示。如抛掷一枚硬币时，其样本空间 $\Omega=\{$ 正面朝上，反面朝上 $\}=\left\{\omega_1, \omega_2\right\}$ ．

用集合的语言描述时，试验的样本空间是该试验所有样本点构成的全集，样本点是该全集的元素．它们之间的关系可用图 5．1－2 刻画。

![图片](/uploads/2025-02/e71a2e.jpg)
 
如果样本空间中样本点的个数是有限的，则称该样本空间为有限样本空间．

`例` 抛掷一枚骰子，用 $1,2,3,4,5,6$ 表示掷出的点数，写出试验的样本点和样本空间。

解 试验一共有 6 个样本点，它们是 $1,2,3,4,5,6$ ．因此，该试验的样本空间 $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ 。

`例` 抛掷两枚硬币，用 $H$ 表示正面朝上，用 $T$ 表示反面朝上，写出试验的样本点和样本空间。

解 将第一枚硬币视为硬币 1，第二枚硬币视为硬币 2，则试验有 4 个样本点，它们分别是
$H H$ ：硬币 1 正面朝上，硬币 2 正面朝上；
$H T$ ：硬币 1 正面朝上，硬币 2 反面朝上；
$T H$ ：硬币 1 反面朝上，硬币 2 正面朝上；
$T T$ ：硬币 1 反面朝上，硬币 2 反面朝上。

因此，样本空间 $\Omega=\{H H, H T, T H, T T\}$ 。

我们已经知道抛掷一枚骰子，其样本空间 $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ ．若用 $A=$ $\{3\}$ 表示掷出 3 点，则 $A$ 是 $\Omega$ 的子集．若用 $B=\{2,4,6\}$ 表示掷出偶数点，则 $B$ 也是 $\Omega$ 的子集。

类似地，对抛郑两枚硬币这一随机试验，若用 $A=\{H H\}$ 表示硬币 1 正面朝上，硬币 2 正面朝上，则 $A$ 是 $\Omega=\{H H, H T, T H, T T\}$ 的子集。

一般地，当 $\Omega$ 是试验的样本空间时，我们称 $\Omega$ 的子集 $A$ 是 $\Omega$ 的**随机事件**，简称为事件，一般用大写字母 $A, B, C, \cdots$ 来表示．对于样本空间 $\Omega, A$ 是事件和 $A \subseteq \Omega$等价．由一个样本点组成的集合，称为**基本事件**．

当试验结果（即试验的样本点）$\omega \in A$ 时，就称事件 $A$ 发生，否则称 $A$ 不发生。

在抛掷股子试验中，当郑出的点数是 3 时，我们就称事件

$A=\{3\}$ 发生，否则称事件 $A$ 不发生．同样，当掷出的点数是偶数时，则称事件 $B=$ $\{2,4,6\}$ 发生，否则称事件 $B$ 不发生。
$\Omega$ 也是 $\Omega$ 的子集，并且包括了所有的样本点，所以必然发生。我们称样本空间 $\Omega$ 是**必然事件**。例如，抛郑一枚骰子，＂出现的点数不超过 6 ＂为必然事件。

空集 $\varnothing$ 是 $\Omega$ 的子集，所以空集 $\varnothing$ 是事件．空集 $\varnothing$ 中没有样本点，永远不会发生，所以我们称 $\varnothing$ 是**不可能事件**．例如，抛掷一枚骰子，＂出现的点数超过 6 ＂为不可能事件．

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