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平面向量
向量的坐标运算
日期:
2023-11-05 19:19
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向量的坐标运算
给定一条直线 $l$ 以及这条直线上一个单位向量 $\boldsymbol{e}$, 由共线向量基本定理可知, 对于直线 $l$ 上的任意一个向量 $\boldsymbol{a}$, 一定存在唯一的实数 $x$, 使得 $$ \boldsymbol{a}=x \boldsymbol{e}, $$ 此时, $x$ 称为向量 $\boldsymbol{a}$ 的坐标. 值得注意的是,如果直线上向量 $\boldsymbol{a}$ 的坐标为 $x$, 则 $x$ 既能刻画 $\boldsymbol{a}$ 的模,也能刻画向量 $\boldsymbol{a}$ 的方向. 事实上, 此时 $$ |\boldsymbol{a}|=|x \boldsymbol{e}|=|x||\boldsymbol{e}|=|x| \text {; } $$ 而且: 当 $x>0$ 时, $\boldsymbol{a}$ 的方向与 $\boldsymbol{e}$ 的方向相同; 当 $x=0$ 时, $\boldsymbol{a}$ 是零向量; 当 $x<0$ 时, $\boldsymbol{a}$ 的方向与 $\boldsymbol{e}$ 的方向相反. 也就是说, 在直线上给定了单位向量之后, 直线上的向量完全被其坐标确定. 直线上向量的坐标还可以按如下方式来直观理解: 如图 6-2-8 所示, 在直线 $l$ 上指定一点 $O$ 作为原点, 以 $e$ 的方向为正方向, $e$ 的模为单位长度建立数轴, 对于 $l$ 上的任意一个向量 $\boldsymbol{a}$, 如果我们把它的始点平移到原点 $O$,那么 $a$ 的终点对应的数就是向量 $a$ 的坐标. ![图片](/uploads/2023-11/image_2023110546cea5f.png) 图 中, 向量 $\boldsymbol{a}$ 的坐标为-4. 特别地, $e$ 的坐标为 1 . 为了方便起见, 以后谈到直线上向量的坐标时, 总是默认为已经按照上述方式指定了单位向量 $\boldsymbol{e}$, 并建立了数轴; 而且, 谈到数轴时, 也默认为已经指定了与数轴正方向同向的单位向量 $e$. 此时: 如果数轴上一点 $A$ 对应的数为 $x$ (记为 $A(x)$, 也称点 $A$ 的坐标为 $x$ ), 那么向量 $\overrightarrow{O A}$ 对应的坐标为 $x$; 反之, 这一结论也成立. 因此, 为了求出直线上向量的坐标, 可以选择如下两种方法中的任何一种: (1) 将向量用单位向量表示出来; (2) 将向量的始点平移到原点, 读出终点的坐标. 假设直线上两个向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 的坐标分别为 $x_1, x_2$, 即 $$ \boldsymbol{a}=x_1 \boldsymbol{e}, \boldsymbol{b}=x_2 \boldsymbol{e} . $$ 当 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$ 时, 有 $x_1 \boldsymbol{e}=x_2 \boldsymbol{e}$, 由 $\boldsymbol{e}$ 是单位向量可知 $x_1=x_2$ , 反之, 结论也成立. 这就是说, 直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等. 另外, 因为 $$ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=x_1 \boldsymbol{e}+x_2 \boldsymbol{e}=\left(x_1+x_2\right) \boldsymbol{e}, $$ 所以 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 的坐标是 $x_1+x_2$, 这就是说, 直线上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.
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