向量垂直、正交基底与正交分解

日期: 2023-11-05 19:21 查看: 15 次更新导出Word

平面上的两个非零向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$, 如果它们所在的直线互相垂直, 我们就称向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 垂直, 记作 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$. 为了方便起见, 规定零向量与任意向量都垂直.

我们已经从平面向量基本定理知道, 给定平面内两个不共线的向量（即给定一组基底）后, 平面内的任意一个向量都能用这两个向量表示.

如果平面向量的基底 $\left\{e_1, e_2\right\}$ 中, $e_1 \perp e_2$, 就称这组基底为正交基底;在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解.

假设平面上两个向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足 $\boldsymbol{a}=\left(x_1, y_1\right), \boldsymbol{b}=\left(x_2, y_2\right)$, 也就是说

$$
\boldsymbol{a}=x_1 \boldsymbol{e}_1+y_1 \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{b}=x_2 \boldsymbol{e}_1+y_2 \boldsymbol{e}_2 .
$$

则当 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$ 时, 有 $x_1 \boldsymbol{e}_1+y_1 \boldsymbol{e}_2=x_2 \boldsymbol{e}_1+y_2 \boldsymbol{e}_2$, 由 $\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2$ 是相互垂直的单位向量可知 $x_1=x_2$ 且 $y_1=y_2$; 反之结论也成立. 这就是说, 平面上两个向量相等的充要条件是它们的坐标对应相等.
另外, 因为

$$
\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=x_1 \boldsymbol{e}_1+y_1 \boldsymbol{e}_2+x_2 \boldsymbol{e}_1+y_2 \boldsymbol{e}_2=\left(x_1+x_2\right) \boldsymbol{e}_1+\left(y_1+y_2\right) \boldsymbol{e}_2,
$$

所以

$$
\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\left(x_1+x_2, y_1+y_2\right) .

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