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群论 Group Theory
群论入门（高中版）
对称变换的性质
对称变换的性质
日期:
2023-11-08 21:23
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我们以最简单的正三角形的对称变换为例, 看一看对称变换的合成是否满足交换律.若对正三角形 123 先做恒等变换 $I$, 再做变换 $r_2$, 即  我们发现 $r_2 \cdot I=r_2$. 反过来, 先做变换 $r_2$, 再做恒等变换 $I$, 即  这时有 $I \cdot r_2=r_2$. 于是我们有 $$ r_2 \cdot I=I \cdot r_2 . $$ 可以发现, 对于任意对称变换 $a$ 与恒等变换 $I$, 都有 $a \cdot I=I \cdot a$ 成立. 但是, 对于集合 $D_3$ 中的其他变换, 交换律并不一定成立. 例如, 从上面的例子中我们可以发现, $r_3 \cdot r_2 \neq r_2 \cdot r_3, r_2 \cdot \rho_1 \neq \rho_1 \cdot r_2$. 一般地, 平面图形的对称变换的合成不满足交换律. 我们知道, 数的乘法满足结合律. 那么, 对称变换的合成是否也满足结合律呢? 我们先来看一个正三角形的例子. 例如, 先对正三角形做变换 $\left(\rho_1 \cdot r_2\right)$, 再做 $r_1$, 即  我们有 $r_1 \cdot\left(\rho_1 \cdot r_2\right)=I$. 然后先对正三角形做变换 $r_2$, 再做变换 $\left(r_1 \cdot \rho_1\right)$, 即  我们也有 $\left(r_1 \cdot \rho_1\right) \cdot r_2=I$. 由此可以得到 $$ r_1 \cdot\left(\rho_1 \cdot r_2\right)=\left(r_1 \cdot \rho_1\right) \cdot r_2 . $$ 用同样的方法可以证明正方形同样具有上面的性质。 从上面的讨论, 我们已经看到, $\rho_3 \cdot\left(\rho_2 \cdot \rho_1\right)$ 和 $\left(\rho_3 \cdot \rho_2\right) \cdot \rho_1$ 对一个图形或一个点的作用都是对它先施行 $\rho_1$, 再施行 $\rho_2$, 最后再施行 $\rho_3$, 因而 $\rho_3 \cdot\left(\rho_2 \cdot \rho_1\right)$ 和 $\left(\rho_3 \cdot \rho_2\right) \cdot \rho_1$ 是完全一样的. 一般地, 我们有: 若 $m_1, m_2, m_3$ 是平面图形的 3 个对称变换, 它们之间的合成满足结合律, 即 $$ m_3 \cdot\left(m_2 \cdot m_1\right)=\left(m_3 \cdot m_2\right) \cdot m_1 . $$ ## 对称变换的逆变换 我们知道, 互为倒数的两数之积等于 1 ; 对数函数与指数函数互为反函数. 对称变换是否也可以讨论类似的问题呢? 下面我们还是以正三角形的对称变换为例, 来考察一下这个问题. 看一个例子. 对正三角形先做变换 $\rho_2$, 再做变换 $\rho_1$, 我们有 $$ \rho_1 \cdot \rho_2=I $$  如果对正三角形先做变换 $\rho_1$, 再做变换 $\rho_2$, 仍然有 $$ \rho_2 \cdot \rho_1=I \text {. } $$  因此我们有 $$ \rho_1 \cdot \rho_2=\rho_2 \cdot \rho_1=I . $$ 再看一个例子. 若对正三角形连续做两次变换 $r_2$, 即  可见对于正三角形, $r_2$ 与 $r_2$ 的合成等于恒等变换 $I$, 即 $r_2 \cdot r_2=I$. 一般地, 如果一个对称变换 $a$ 与另一个对称变换 $b$ 的合成等于恒等变换 $I$, 即 $$ b \cdot a=a \cdot b=I, $$ 我们就称 $b$ 为 $a$ 的逆变换 (或 $a$ 为 $b$ 的逆变换), 记作 $$ \left.a^{-1}=b \text { (或 } b^{-1}=a\right) \text {. } $$ 上面的例子说明, 正三角形的旋转变换 $\rho_1$ 的逆变换是旋转变换 $\rho_2$, 即 $\rho_1^{-1}=\rho_2$; 反射变换 $r_2$ 的逆变换是它本身, 即 $r_2^{-1}=r_2$. 现在我们来看看正方形的旋转变换 $\rho_1$ 是否有逆变换. 先把正方形绕其中心旋转 $90^{\circ}$, 即对它做变换 $\rho_1$; 为了使正方形重新回到原来的位置, 再把它绕其中心旋转 $270^{\circ}$, 即对它做变换 $\rho_3$.  类似的  所以 $\rho_1$ 的逆变换就是 $\rho_3$, 即 $\rho_1^{-1}=\rho_3$. ## 结论 我们已经知道, 两个对称变换 $a 、 b$ 的合成 $b \cdot a$ 仍然是一个对称变换. 那么, 这个对称变换的逆变换又是怎样的呢? 由对称变换满足结合律, 我们得到 $$ \begin{aligned} \left(a^{-1} \cdot b^{-1}\right) \cdot(b \cdot a) & =a^{-1} \cdot\left(b^{-1} \cdot b\right) \cdot a \\ & =a^{-1} \cdot I \cdot a \\ & =a^{-1} \cdot a \\ & =I . \end{aligned} $$ 因此, $b \cdot a$ 的逆变换是对称变换 $a^{-1} \cdot b^{-1}$. 这个规则与我们熟悉的一些规则是类似的,例如在穿衣服时, 我们总是先穿衬衣后穿外套; 而在脱衣服时, 我们会遵循正好相反的顺序, 先脱外套后脱衬衣.
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