日期: 2023-11-08 21:30 查看: 170 次编辑导出本文

平面图像的对称群

我们已经找到了正三角形所有的 6 个对称变换, 即

$$
D_3=\left\{I, r_1, r_2, r_3, \rho_1, \rho_2\right\},
$$

以及正方形所有的 8 个对称变换, 即

$$
D_4=\left\{I, r_1, r_2, r_3, r_4, \rho_1, \rho_2, \rho_3\right\} .
$$

这就是说, $D_3$ 和 $D_4$ 分别包含了正三角形和正方形所有的对称变换.
究

一般地, 把一个平面图形 $K$ 的所有对称变换组成的集合记作 $S(K)$. 例如, 对于正三角形、正方形和正五边形, $S(K)$ 分别为 $D_3 、 D_4$ 和 $D_5$. 由于平面图形 $K$ 的每一个对称性都可通过它的一个对称变换来描述, 所以 $S(K)$ 也就刻画了平面图形 $K$ 的全部对称性. 这样, 我们就把平面图形 $K$ 的直观对称用精确的数学语言一一集合 $S(K)$ 表示出来了. $S(K)$ 就是数学中用来刻画平面图形 $K$ 的对称的数学模型.

既然我们用集合 $S(K)$ 来刻画图形的对称, 很自然地, 我们希望尽可能多地了解 $S(K)$. 那么, $S(K)$ 中的元素到底有哪些性质呢? 它们之间会有怎样的关系呢? 下面我们仍然以正三角形和正方形为例来说明.

研究正三角形所有的对称变换组成的集合 $D_3$ 中元素之间的关系, 最基本的是看一看它们两两合成的结果. 为了方便, 我们可以用一个表来表示这种合成的结果 (表 1-1).

![图片](/uploads/2023-11/image_20231108f1165d5.png)
这个表称为 $D_3$ 的乘法表, 这是一种常用的、有力的表示对称变换合成结果的工具.表格的第 1 行和第 1 列列出了 $D_3$ 的全部 6 个元素. 除了首行和首列外, 表格的其他部分由 6 行和 6 列组成. 表格的第 $(j+1)$ 列和第 $(i+1)$ 行交点处的元素是首行第 $j$ 个元素与首列第 $i$ 个元素的乘积. 因为对称变换的合成一般是不满足交换律的, 我们对于合成的次序必须有一个明确的规定. 习惯上,按照先做列变换, 再做行变换的次序得到这些合成的结果. 例如,表格的第 5 列和第 3 行交点处的元素是 $r_3$, 它是由 $r_1$ 和 $\rho_1$ 合成得到的，即 $\rho_1 \cdot r_1=r_3$.

**乘法表‸**给了我们非常丰富的关于正三角形的对称变换集合 $D_3$ 的信息. 实际上, 我们在前面学过的 $D_3$ 的许多性质, 都可以从这个乘法表中得到.

例如, 从表格中可以看到, $D_3$ 中任意两个元素的乘积仍然在 $D_3$ 中, 也就是正三角形的任意两个对称变换的合成仍然是 $D_3$ 中的对称变换. 我们称 $D_3$ 的这个性质为正三角形的对称变换合成的封闭性.

表格关于主对角线（就是表格所在的长方形从左上到右下的对角线）不对称，说明对称变换的合成不满足交换律.

表格中每一行 (列) 的元素两两不同, 而且都包含了 $D_3$ 的所有元素. 这说明, 任意取 $D_3$ 中的一个元素 $m$, 它与 $D_3$ 中任意两个不同元素分别相乘, 所得的积不相等. 换句话说, 如果存在 $a, b \in D_3$, 使得 $m \cdot a=m \cdot b$ 或 $a \cdot m=b \cdot m$, 那么一定有 $a=b $.

一般地, 对于一个平面图形 $K$ 的所有对称变换组成的集合 $S(K)$, 如果把变换之间的合成看作 $S(K)$ 上的一种运算, 记作 - , 那么这种运算都满足下述 4 条:

1. $S(K)$ 中任意两个变换合成的结果仍然在 $S(K)$ 中;
2. $S(K)$ 中存在恒等变换 $I$;
3. $S(K)$ 中任意一个变换的逆变换仍然在 $S(K)$ 中;
4. $S(K)$ 中的变换的合成满足结合律.
   如果把这 4 条性质用数学的语言表达出来, 我们得到:
   I. 对任意的 $m_1, m_2 \in S(K), m_1 \cdot m_2 \in S(K)$;
   II. $S(K)$ 中存在一个变换 $I$, 对任意的 $m \in S(K)$, 有 $I \cdot m=m \cdot I=m$;
   III. 对任意的 $m \in S(K)$, 存在变换 $m^{-1} \in S(K)$, 使得 $m \cdot m^{-1}=I=m^{-1} \cdot m$;
   IV. 对任意的 $m_1, m_2, m_3 \in S(K), m_3 \cdot\left(m_2 \cdot m_1\right)=\left(m_3 \cdot m_2\right) \cdot m_1$.
   这时, 我们把 $S(K)$ 连同它的运算 “. ” 称为平面图形 $K$ 的对称群, 记作 $(S(K), \cdot)$.
   因此, $\left(D_3, \cdot\right)$ 是正三角形的对称群, 有 6 个元素; $\left(D_4, \cdot\right)$ 是正方形的对称群, 有 8 个元素.

一般地, 正 $n$ 边形所有的对称变换和对称变换的合成 “ - ” 构成它的对称群, 称为二面体群, 记作 $\left(D_n, \cdot\right)$, 其中有 $2 n$ 个元素.
对于一个只有有限个对称变换的平面图形 $K$, 人们已经发现其对称群的类型只有下列 4 种:

1. 仅含有恒等变换;
2. 仅含有恒等变换和一个反射变换;
3. 含有 $n\left(n \in \mathbf{N}^*\right.$ ) 个旋转变换, 而没有反射变换（这样的对称群称为循环群）;
4. 含有 $n\left(n \in \mathbf{N}^*\right.$ ) 个旋转变换, 同时有 $n$ 个反射变换（这样的对称群称为二面体群).

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