最后更新: 2025-03-16 16:29 查看: 208 次反馈刷题

n元对称群S_n

上一讲, 我们通过画图或操作模型的方法, 研究了正三角形的对称群 $\left(D_3, \cdot\right)$,以及正方形的对称群 $\left(D_4, \cdots\right)$. 那么, 有没有其他方法表示正 $n$ 边形的对称变换呢?

前面我们曾经讨论过, 正 $n$ 边形的对称变换保持它的对称中心不动, 而把它的 $n$ 个顶点仍然映成顶点. 所以, 正 $n$ 边形的对称变换可以用在对称变换的作用下相应顶点的变换来表示.
例如, 表 2-1 列出了正三角形的对称变换、相应图形的变换和相应顶点的变换.
![图片](/uploads/2023-11/image_20231108a15ff28.png)
![图片](/uploads/2023-11/image_2023110837cbca0.png)

类似地, 正方形的对称变换 $\left\{I, r_1, r_2, r_3, r_4, \rho_1, \rho_2, \rho_3\right\}$ 也可以用数字 1,2 , 3,4 的相应置换来表示:

$$
\begin{aligned}
& \left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 2 & 3 & 4
\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4 \\
3 & 2 & 1 & 4
\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4 \\
4 & 3 & 2 & 1
\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 4 & 3 & 2
\end{array}\right) \\
& \left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 1 & 4 & 3
\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 1
\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4 \\
3 & 4 & 1 & 2
\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4 \\
4 & 1 & 2 & 3
\end{array}\right) \\
&
\end{aligned}
$$

置换这种表示不仅仅是一种符号, 实际上定义了集合 $\{1,2,3, \cdots, n\} \quad\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$到自身的一个一一对应. $1,2, \cdots, n$ 这 $n$ 个数的每一个置换都确定了集合 $\{1,2,3$, $\cdots, n\}$ 到自身的一个一一对应. 例如, 正三角形的对称变换所对应的置换是集合 $T_3=$ $\{1,2,3\}$ 到其自身的一一对应, 它们共有 $2 \times 3=6$ 个, 就是表 2-1 中的 6 个置换, 这是 $T_3$ 的全部置换. $T_3$ 的全部置换组成的集合记作 $S_3$.

正方形的对称变换所对应的置换是集合 $T_4=\{1,2,3,4\}$ 到其自身的一一对应,它们有 $2 \times 4=8$ 个, 但这只是 $T_4$ 的部分置换. 容易知道, $T_4$ 共有 $4 !=24$ 个置换. $T_4$ 的全部置换组成的集合记作 $S_4$.

**例**  写出集合 $T_4=\{1,2,3,4\}$ 的所有置换.
**解**:  我们先用排序的方法写出 $T_4$ 所有的排列:
![图片](/uploads/2023-11/image_202311085c6ed1b.png)
![图片](/uploads/2023-11/image_202311082f161ca.png)
当置换第一行的顺序固定为 $1,2,3,4$ 的时候, 每一个排列就对应了一个置换. 所以这 24 个置换是:
![图片](/uploads/2023-11/image_202311082743ed0.png)
与对称变换的合成相对应, 我们可以定义置换的合成. 通常两个置换的合成也是按照从右到左的顺序, 先做一个置换, 再做另一个置换.

例如, $\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3\end{array}\right)$ 的合成记作 $\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2\end{array}\right)$, 由于 $\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2\end{array}\right)$ 表示的对应是
![图片](/uploads/2023-11/image_2023110851e5a09.png)

$\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3\end{array}\right)$ 表示的对应是
![图片](/uploads/2023-11/image_202311086e4dda2.png)

我们规定, $\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2\end{array}\right)$ 表示的对应是

![图片](/uploads/2023-11/image_202311085b79e50.png)

所以, $\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1\end{array}\right)$.
可见, 两个置换的合成也是一个置换, 而且等于两个相应对称变换的合成所对应的置换 (请同学们自己举例验证).
像 $\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{array}\right)$ 这样, 把各数字都对应到它本身的置换称为恒等置换.
若两个置换 $a, b$ 的合成等于恒等置换, 即有

$$
a \cdot b=b \cdot a=I,
$$

那么我们称 $a, b$ 互为逆置换.

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