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群论
群论入门（高中版）
群的概念
日期:
2023-11-08 08:27
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群的概念
**群的一般概念** 在前文中, 我们已经定义了正 $n$ 边形的对称群 $\left(D_n, \cdot \right)$ 和 $n$ 元对称群 $\left(S_n, \cdot \right)$, 虽然它们有着背景完全不同的集合, 并且它们的运算的含义也不同, 但它们却有如下共同特点: (1) 有一个非空集合; (2) 在这个集合上定义了一个运算; (3) 运算满足性质 $\mathrm{I} \sim \mathrm{N}$. 这样的结构在数学、物理学、化学和生命科学中大量存在. 数学家把它们概括成一个抽象的概念一群. 前面学习的对称群就是群的一个具体例子. 为了介绍群的一般概念, 我们先来定义集合上的运算. 设 $G$ 是一个非空集合, $G$ 上的一个二元运算是指一个映射 “.”, 它把 $G$ 中的任意一个有序对 $(a, b)$ 都对应到 $G$ 中的一个元素, 我们把这个元素记作: $a \cdot b$, 例如: $D_n$ 中对称变换的合成是 $D_n$ 上的二元运等; $S_n$ 中置换的合成是 $S_n$ 上的二元运算; 整数的加法 $(+)$ 、减法 $(-)$ 和乘法 $\times$ 都是整数 集 $\mathbf{Z}$ 上的二元运算, 这是因为两个整数的和、差与积都仍然是整数. 定义 设非空集合 $G$ 满足下述 4 个条件: I. $G$ 上们一个二元运篮 “ \codt ”, 即对任意的 $a, b \in G$, 有 $a \cdot b \in G$; II. $G$ 中有单位元 $I$, 对任意的 $a \in G, I \cdot a=a=a \cdot I$; III. $G$ 中的每个元素都有逆元, 即对任意的 $a \in G$, 存在 $a^{\prime} \in G$,使得 $a \cdot a^{\prime}=I=a^{\prime} \cdot a$; IV. $G$ 的乘法满足结合律, 即对任意的 $a, b, c \in G,(a \cdot b) \cdot c=a \cdot(b \cdot c)$; 则 $(G, \cdot)$ 称为一个群 (group). 换句话说, 群就是一个非空集合. 这个集合有一个满足结合律的二元运算, 集合中有一个単位元, 集合中每一个元素都有一个适元. 群的例子是大量存在的. 例如, 正有理数集 $\mathbf{Q}^*$ 连同正有理数的乘法构成一个群, 记作 $\left(\mathbf{Q}^*, \cdot\right)$. 下面的表格说明了 $\mathbf{Q}^*$ 满足群的 4 个条件.  又如整数集 $\mathbf{Z}$ 连同整数的加法构成一个群, 记作 $(\mathbf{Z},+)$. 下而的表格说明 $\mathbf{Z}$ 满足群的 4 个条件.  这些例子告诉我们, 群的定义中的乘法的含义很广, 它可以是平面图形的对称变换的合成, 置换的合成, 也可以是数的乘法或加法.
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