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线性代数
第一篇 方阵的行列式
二阶行列式的几何意义
日期:
2024-01-12 16:07
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二阶行列式的几何意义
**一阶行列式** 一阶行列式 $\left|a_1\right|=a_1$ 的意思就是 $a_1$ 向量 $a_1$ 本身。这个数 $a_1$ 的本身是一维坐标轴上的有向长度 (见图 3-3)。这里强调的是有向的, 长度是有向的, 是个向量,这一直是个很重要的概念。  **二阶行列式** 二阶行列式 $\left|\begin{array}{ll}a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2\end{array}\right|$ 的几何意义是 $x o y$ 平面上以行向量 $\boldsymbol{a}=\left(a_1, a_2\right), \boldsymbol{b}=\left(b_1, b_2\right)$ 为邻边的平行四边形的有向面积 (见图 3-4)。为什么?  在二维几何空间 $\mathbf{R}^2$ 中取定一个直角坐标系 $\left\{\boldsymbol{0} ; \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\right\}$, 设 $\boldsymbol{a}=a_1 \boldsymbol{e}_1+a_2 \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{b}=b_1 \boldsymbol{e}_1+b_2 \boldsymbol{e}_2$,则以 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b}$ 为边的平行四边形的面积为 $$ S(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=a b \sin \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle $$ 这里: $a=\sqrt{a_1^2+a_2^2}, b=\sqrt{b_1^2+b_2^2}, \sin \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle$ 为向量 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b}$ 之间的夹角正弦, 即 $$ \sin \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle=\sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta $$ 参照图 3-4中的关系把三角式用坐标值表示出来: $$ \sin \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle=\frac{a_1}{a} \cdot \frac{b_2}{b}-\frac{a_2}{a} \cdot \frac{b_1}{b}=\frac{a_1 b_2-a_2 b_1}{a b} $$ 整理得 $$ a b \sin \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle=a_1 b_2-a_2 b_1 $$ 又 $$ \left|\begin{array}{ll} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{array}\right|=a_1 b_2-a_2 b_1 $$ 因此至此可以得到, 二郱行列式的几何意义就是由行列式的向量所张成的平行四边形的面积。另外, 两个向量的叉积也是这个公式。在向量一章中, 向量叉积的一个公式就是 $$ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=(a b \sin \theta) \boldsymbol{n}_0 $$ 这里, $\boldsymbol{n}_0$ 是右手系下垂直于 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 展成的平面的单位向量。 因此, 二阶行列式的另一个意义就是两个行向量或列向量的叉积的数值。如果数值是正值,则与右手系的 $x_3$ 坐标轴同向; 如果数值是负值, 则与 $x_3$ 坐标反向。那么二阶行列式就与两个向量的叉积完全等价了。 3.2.2 二阶行列式性质的几何解释 下面我们仍然从向量的角度来解释或证明二阶行列式的几个主要性质。 性质1 $\left|\begin{array}{ll}a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}k a_1 & k a_2 \\ b_1 & b_2\end{array}\right|, k$ 为实数。 这个性质是说, 一个实数乘以行列式等于一个行向量乘以这个实数的行列式。几何解释就是: 两个行向量 $\boldsymbol{a}=\left(a_1, a_2\right), \boldsymbol{b}=\left(b_1, b_2\right)$ 所张成平行四边形之有向面积的 $k$ 倍面积等于这样两个向量 $k \boldsymbol{a}=\left(k a_1, k a_2\right), \boldsymbol{b}=\left(b_1, b_2\right)$ 所张成的平行四边形的面积, 也就是 $S(k \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=k S(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 。 通过图 3-5容易得到几何解释。图中, $S(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 可以看做以 $\boldsymbol{a}$ 为底的平行四边形的面积, $S(k \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 是以 $k \boldsymbol{a}$ 为底的平行四边形的面积, 高相同。因此底边向量 $\boldsymbol{a}$ 变化了 $k$ 倍, 面积也变化了 $k$ 倍。  性质 2 $\left|\begin{array}{cc}a_1 & a_2 \\ b_1+c_1 & b_2+c_2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}a_1 & a_2 \\ c_1 & c_2\end{array}\right|$ 。 这个性质是说, 一个行列式可以通过拆分某一行向量而得到两个行列式之和。对于三个向量 $\boldsymbol{a}=\left(a_1, a_2\right), \boldsymbol{b}=\left(b_1, b_2\right), \boldsymbol{c}=\left(c_1, c_2\right)$, 那么向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 张成的平行四边形有向面积与向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $c$ 张成的平行四边形有向面积之和等于向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$ 张成的平行四边形有向面积，即 $$ S(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=S(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})+S(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c}) $$ 图 3-6 和图 3-7 对此进行了图解说明。  性质 3 $\left|\begin{array}{cc}a_1 & a_2 \\ k a_1 & k a_2\end{array}\right|=0$ 。 此行列式是说两行对应元素成比例, 则行列式为零。对于两个向量 $\boldsymbol{a}=\left(a_1, a_2\right)$, $\boldsymbol{b}=\left(k a_1, k a_2\right)=k\left(a_1, a_2\right)$, 显然成比例, 比例系数为 $k$ 。如果把成比列的两个向量的始端都移动到原点, 则两向量会在同一条直线上 (见图 3-8), 显然围成的四边形的面积为零, 即 $S(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=0$, 因此行列式为零。 当然如果两个向量相同, 同样道理, 行列式的值也为零。  性质 $4\left|\begin{array}{ll}a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{ll}b_1 & b_2 \\ a_1 & a_2\end{array}\right|$ 。 交换行列式的两行则行列式换号。这个性质由行列式的叉积特性得到。交换行列式的两行,就是改变了向量 $\boldsymbol{a}$ 和向量 $\boldsymbol{b}$ 的叉积顺序, 根据 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=-\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a}$, 因此行列式换号。由此我们得到一个印象: 就是一个给定的行列式, 它的行向量顺序也给定了, 不能随意改变其顺序。 性质 $5 \quad\left|\begin{array}{ll}a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a_1 & a_2 \\ b_1+\lambda a_1 & b_2+\lambda a_2\end{array}\right|$ 。 把行列式的一行的 $k$ 倍加到另一行, 则行列式的值不变, 即 $S(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=S(\boldsymbol{a}, k \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$ 。 由图 3-9 知, 在同一平面上, 两个平行四边形阴影的面积相等, 因为这两个平行四边形同底 (都等于 $\boldsymbol{a}$ ) 同高。显然, 把行列式的一行的 $k$ 倍加到另一行的操作, 相当于把原平行四边形在保持同底同高的情况下发生了切变。  性质 $6 \quad\left|\begin{array}{ll}a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{array}\right|$ 。 行列式转置, 其值不变。 如果要讲清楚转置行列式的几何意义, 必须再一次使用行列式叉积的定义。另外, 我们要回顾向量一章中两个向量的叉积的解析定义及意义。从前面的分析知道, 两个向量的叉积等于这两个向量的各个分量 (各坐标轴方向的分量) 分别进行叉积的求和。 各个分量互相垂直, 因而进行叉积运算张成的四边形是方形的面积。 如图 3-10 (a) 所示, 对于二阶矩阵的行列式 $\left|\begin{array}{ll}a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2\end{array}\right|, a_1 \boldsymbol{i}$ 和 $b_2 \boldsymbol{j}$ 叉乘得到的四方形 $o a_1 B b_2$的有向面积是 $a_1 b_2, a_2 i$ 和 $b_1 j$ 叉乘得到的 $o a_2 A b_1$ 的有向面积是- $a_2 b_1$ (注意是负值)。所以矩阵的行列式 $\left|\begin{array}{l}a_1, a_2 \\ b_1, b_2\end{array}\right|=“ o a_1 B b_2$ 的有向面积” “ “ $o a_2 A b_1$ 的有向面积” $=a_1 b_2-a_2 b_1$ 。从几何图形上 (见图 3-10(a))看,行列式等于大四方形的面积减去小四方形的面积(因为小四方形是负向面积)。 
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