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线性代数[教程类] Linear Algebra （考研专区）
第一篇 方阵的行列式
三阶行列式的几何意义
三阶行列式的几何意义
日期:
2023-11-11 20:22
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一个 $3 \times 3$ 阶的行列式是其行向量或列向量所张成的平行六面体的有向体积。这个结论可以从两个向量所张成的平行四边形推知。如图 3-12 所示, 由两个向量 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b}$ 张成的平行四边形为 $0 \boldsymbol{a} P \boldsymbol{b}$, 面积 $S$ 为 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b}$ 构成的行列式。那么沿着第三个向量 $\boldsymbol{c}$ 方向生长出无数个平行于原四边形的新的平行四边形来, 直至到向量 $\boldsymbol{c}$ 的末端为止。显然, 所有的这些平行四边形构成一个以向量 $a 、 b 、 c$ 为棱的平行六面体，这些四边形的面积叠加起来正是平行六面体的体积。  上面的这个平面叠加的过程其实就是向量 $a 、 b 、 c$ 混合积的过程: - 向量 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b}$ 张成的平行四边形为 $o \boldsymbol{a} P \boldsymbol{b}$ 就是向量 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b}$ 叉积的结果 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$; - 平行四边形 $o \boldsymbol{a} P \boldsymbol{b}$ 沿着向量 $\boldsymbol{c}$ 张成的平行六面体体积就是向量 $\boldsymbol{c}$ 与 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b}$ 混合积 $(a \times b) \cdot c$ 的结果。
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