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线性代数
第一篇 方阵的行列式
三阶行列式的几何意义
日期:
2024-01-12 16:09
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三阶行列式的几何意义
一个 $3 \times 3$ 阶的行列式是其行向量或列向量所张成的平行六面体的有向体积。这个结论可以从两个向量所张成的平行四边形推知。如图 3-12 所示, 由两个向量 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b}$ 张成的平行四边形为 $0 \boldsymbol{a} P \boldsymbol{b}$, 面积 $S$ 为 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b}$ 构成的行列式。那么沿着第三个向量 $\boldsymbol{c}$ 方向生长出无数个平行于原四边形的新的平行四边形来, 直至到向量 $\boldsymbol{c}$ 的末端为止。显然, 所有的这些平行四边形构成一个以向量 $a 、 b 、 c$ 为棱的平行六面体，这些四边形的面积叠加起来正是平行六面体的体积。  上面的这个平面叠加的过程其实就是向量 $a 、 b 、 c$ 混合积的过程: - 向量 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b}$ 张成的平行四边形为 $o \boldsymbol{a} P \boldsymbol{b}$ 就是向量 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b}$ 叉积的结果 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$; - 平行四边形 $o \boldsymbol{a} P \boldsymbol{b}$ 沿着向量 $\boldsymbol{c}$ 张成的平行六面体体积就是向量 $\boldsymbol{c}$ 与 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b}$ 混合积 $(a \times b) \cdot c$ 的结果。 3.3.2 三阶行列式性质的几何解释 下面对 $3 \times 3$ 阵的行列式的基本性质的几何意义进行解释。为了书写及描述方便, 我们以 det（列向量）的方式表述三阶行列式，列向量用黑体的 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b} 、 \boldsymbol{c} 、 \boldsymbol{d}$ 来表示。则 $$ \operatorname{det}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c})=\left|\begin{array}{lll} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right| $$ 性质 $1 \operatorname{det}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}+\boldsymbol{d})=\operatorname{det}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c})+\operatorname{det}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{d})$ 。 一个行列式可以通过拆分某一个列向量得到两个行列式的和。 看看这个性质的数学表达式, 把 det 看做算子, 有点像分配律的公式什么的, 几何解释如图 3-13 所示。  这里, 把行列式 $\operatorname{det}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}+\boldsymbol{d})$ 的第三列拆分, 变成两个行列式 $\operatorname{det}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c})$ 和 $\operatorname{det}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{d})$ 。 三阶行列式可以看做平行六面体的有向体积。图 3-13（a）阴影体积表示由向量 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b} 、 \boldsymbol{c}$ 张成的平行六面体, 代表行列式 $\operatorname{det}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c})$; 图 3-13（b）阴影体积表示由向量 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b} 、 \boldsymbol{d}$ 张成的平行六面体, 代表行列式 $\operatorname{det}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{d})$ 。这两个平行六面体共有一个底面积 $\operatorname{det}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 。这两个平行六面体的和就是由向量 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b} 、 \boldsymbol{c}+\boldsymbol{d}$ 张成的粗实线平行六面体 $\operatorname{det}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}+\boldsymbol{d})$, 图形参见图 3-14。 形象地说, 我们把右倾的一摞书一一六面体 $\operatorname{det}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{d})$ 抱起来, 摞在左倾的一摞书一一六面体 $\operatorname{det}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c})$ 上面, 再把两摞书向右推整齐, 刚好得到六面体 $\operatorname{det}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}+\boldsymbol{d})$ 。显然, 它们的棱向量 $\boldsymbol{c} 、 \boldsymbol{d} 、 \boldsymbol{c}+\boldsymbol{d}$ 满足向量和的三角形法则。  和前面的有向面积满足三角形法则类似, 这里的有向体积同样满足三角形法则。为了更清楚地表达有向体积的三角形法则, 把图 3-14 变形, 得到如图 3-15 所示的立方三角形图形。 
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