最后更新: 2023-11-14 18:46 查看: 254 次反馈刷题

阿基米德 Archimedes

[42.gif](/uploads/2023-11/370aad.gif)阿基米德，希腊化时代的数学家、物理学家、发明家、工程师、天文学家。出生于西西里岛的锡拉库扎，据说他在亚历山大求学时期，发明了阿基米德式螺旋抽水机，今天的埃及仍在使用。
阿基米德对数学和物理学的影响极为深远，被视为古希腊最杰出的科学家
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## 发现浮力

相传赫农王曾经委派工匠给自己做了一顶金王冠，但是他又怀疑工匠制作的王冠并不是纯金的，也就是说，他怀疑工匠私吞了黄金，但是又没有确凿的证据。这个问题难倒了赫农王和他的大臣们，后来经人举荐，这个问题交到了阿基米德的手上。阿基米德最开始束手无策，整天苦思冥想却不得其解，以至于废寝忘食。有一天他在家洗澡，刚坐进澡盆里时，感觉浑身变轻了。同时一部分水从澡盆中溢出来了。灵感一下子就来了：这个澡盆最开始装满水，我进去了，我占有了一定的体积，同时溢出了一定体积的水，那么，溢出的水的体积就应该和我身体进入水中的体积相等。同理类比到王冠上，可以用测定王冠在水中排水量的办法，来确定王冠的体积。想到这里，阿基米德大为兴奋。他从澡盆里跳出来，连衣服都没穿（可以认为是裸奔），就跑了出去，大声高喊，尤里卡！尤里卡！（希腊语，本意为找到了）事后，阿基米德来到王宫，他准备买两个装满水的盆，将王冠放入其中一个盆中，而将与王冠同等质量的纯金块放到另一个盆中，测量这两个盆溢出水的体积，发现放王冠的盆溢出的水的体积明显要大于放金块的盆。这就说明这个王冠的成分绝对不是纯金。而是混有其他金属的。国王大为满意，工匠因欺骗国王而被处死，不过这件事情的意义远远不止于查出工匠国王的行为，阿基米德在这件事情中发现了阿基米德原理（浮力定律）：
**物体在流体中所获得的浮力，等于它所排出流体的重量**，即：
F=G（式中F为物体所受浮力，G为物体排开液体所受重力

## 阿基米德螺旋线

有一天阿基米德在久旱的尼罗河边散步，看到农民提水浇地相当费力，经过思考之后他发明了一种利用螺旋作用在水管里旋转而把水吸上来的工具，后世的人叫它做“阿基米德螺旋提水器”，埃及一直到二千年后的现在，还有人使用这种器械。这个工具成了后来螺旋推进器的先祖。
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阿基米德螺旋线 (Archimedean spiral)，亦称 “等速螺线” 。当一点 $\mathrm{P}$ 沿动射线OP以等速率运动的同时，这射线又以等角速度绕点 $\mathrm{O}$ 旋转，点 $\mathrm{P}$的轨迹称为 “阿基米德螺线”。它的极坐标方程为: $r=a+b \theta$ 。这种螺线的每条臂的间距永远相等于 $2 \pi b$ 。

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## 给我一个杠杆，我能撬动整个地球

虽然杠杆原理不是阿基米德发现的，但是他在他的卫面平衡研究中解释了其工作原理
阿基米德在研究机械的过程中发现了杠杆原理：要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等。即：**动力×动力臂=阻力×阻力臂**。并为此留下了一句千古名言：给我一个杠杆，我能撬起整个地球。

除了理论研究外，阿基米德还比较重视实际应用，有一次叙拉古的统治者海维隆王又遇到一个难题，叙拉古给埃及托勒密王朝的统治者造了一艘船，完工之后发现这艘船太大太重了，根本放不进海里，但是又有约定在先，国王不好反悔，他把阿基米德召来，让他去想办法解决，阿基米德带领几十个工匠，修建了一套由滑轮组和杠杆组成的机械装置，让人们拉动绳子，大船很快就被拉到海里了，国王大悦，以至于当场宣布：从现在起，我要求大家，无论阿基米德说什么，都要相信他。

## 阿基米德热射线

阿基米德可能写了一部关于镜子的作品，名为反射的镜子,这种镜面排列将阳光聚焦到靠近的船只上，可能会导致船只着火。在现代，已经构建了类似的设备，并且可以被称为日光反射装置或者日光炉.
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## 算出圆周率的近似值

阿基米德将欧几里得提出的趋近观念作了有效的运用，他提出圆内接多边形和相似圆外切多边形，当边数足够大时，两多边形的周长便一个由上，一个由下的趋近于圆周长。

他先用六边形，以后逐次加倍边数，到了九十六边形，阿基米德计算出其面积，并且指出圆周率的值: $\frac{223}{71}<\Pi<\frac{22}{7}$ ；:就是 $3.140845<\pi<3.142857^{[16]}$

他还证明了圆面积等于圆周率乘以半径的平方。在球体和圆柱的研究中，阿基米德假设，一个任意的数在自加足够多的次数之后，会大于任意一个给定的数。这被称为实数的阿基米德性质。另外他算出球的表面积是其内接最大圆面积的四倍。而他导出圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，这个定理就刻在他的墓碑上。

在其著作《圆的测量》中，阿基米德给出了3的平方根的近似值，介于 $265 / 153$ (约为 1.7320261 )和 $1351 / 780$ (约为 1.7320512 )之间。其实际值大约为 1.7320508 ，这是一个非常准确的近似值。他直接给出了结果却没有给出任何计算方法的解释。由此，约翰.沃利斯作出如下评价：“这就像是故意的，似乎阿基米德已经决定不向后人们透露他的算法的秘密，只是强迫他们接受他的结果。"

阿基米德从三角形的边计算出12边形的边六边形并且对于正多边形的边的每一个随后的加倍（下图）。
![图片](/uploads/2023-11/e312f4.svg)

## 天文学

在天文学方面，阿基米德曾运用水力制作一座天象仪，球面上有日、月、星辰和五大行星，根据记载，这个天象仪不但运行精确，连何时会发生月食、日食都能加以预测。晚年的阿基米德开始怀疑地球中心学说(地心说)，并猜想地球有可能绕太阳转动，这个观念一直到哥白尼时代才被人们提出来讨论。

## 阿基米德公理

在抽象代数和分析学中，以古希腊数学家阿基米德命名的公理，是一些赋范的群、域和代数结构具有的一个性质，可表述如下：

对于任何正实数 a 及  b，即使 a 多么小，或是 b 多么大，也必定存在自然数 n，使得 {\displaystyle
$an>$。

这公理的粗略意义是，数字系统不存在具有无穷大或无穷小性质的元素。

这个概念源于古希腊对量的理论。由于它出现在阿基米德的《论球体和圆柱体》的公理五，1883年，奥地利数学家奥托·施托尔茨赋予它这个名字。

在现代实分析中，这性质不是一个公理，而是退却为实数具完备性的结果。基于这理由，常以性质的叫法取而代之。
![图片](/uploads/2023-11/image_20231114689cfc9.png)

## 阿基米德数

阿基米德数 (英语: Archimedes number，Ar) 是一个因希腊科学家阿基米德而得名的流体力学无因次数，可用来判别因密度差异造成的流体运动，其形式如下:

$$
\operatorname{Ar}=\frac{g L^3 \rho_{\ell}\left(\rho-\rho_{\ell}\right)}{\mu^2}
$$

其中

- $g$ 为重力加速度，
- $\rho_{\ell}$ 为流体的密度, 单位为 $k g / \mathrm{m}^3$ ，
- $\rho$ 为物体的密度，单位为 $\mathrm{kg} / \mathrm{m}^3$ ，
- $\mu$ 为动黏滞系数，单位为 $k g / m s$ ，
- $L$ 为物体特征长度，单位为 $m$ 。

阿基米德数也可表示为格拉斯霍夫数和雷诺数平方的比值，也是浮力及惯性力的比值:

$$
A r=\frac{G r}{R e^2}{ }^{[1]}
$$

在分析液体潜在的混合对流现象时，阿基米德数可用来比较自由对流及强制对流的相对强度，若Ar $>>1$ ，对流现象中以自由对流为主，若Ar $<<$ 1，则以强制对流为主。

## 阿基米德立体

阿基米德立体是一种高度对称的半正多面体，且使用两种或以上的正多边形为面的凸多面体，并且都是可以从正多面体经过截角、截半、截边等操作构造。阿基米德立体的每个顶点的情况相同，共有13种。阿基米德曾研究半正多面体（虽然其研究纪录已佚），故有人将半正多面体唤作阿基米德立体。因为面是由正多边形组成的，每个相邻的正多边形的边长相等，故阿基米德立体的边均有相同长度。阿基米德立体的对偶多面体是卡塔兰立体。
下图仅显示了一个立方体。
![4.gif](/uploads/2023-11/fe2dae.gif)

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