科数网
学习
高中数学
高中物理
微积分
线性代数
概率论
人工智能
赞助本站
在线教程
复变函数论
第一篇复数与复变函数
共轭复数
日期:
2023-11-18 08:34
查看:
124
次
编辑
导出本文
共轭复数
**1. 共轭复数的定义** 定义 设 $z=x+i y$ 是一个复数, 称 $z=x-i y$ 为 $z$ 的共轭复数, 记作 $\bar{z}$ 。 注 共轭复数有许多用途。 比如 $$ \begin{aligned} z=\frac{z_1}{z_2} & =\frac{z_1 \cdot \bar{z}_2}{z_2 \cdot \bar{z}_2}=\frac{\left(x_1+i y_1\right)\left(x_2-i y_2\right)}{\left(x_2+i y_2\right)\left(x_2-i y_2\right)} \\ & =\frac{x_1 x_2+y_1 y_2}{x_2^2+y_2^2}+i \frac{x_2 y_1-x_1 y_2}{x_2^2+y_2^2} \end{aligned} $$ **2. 共轭复数的性质** 性质 (1) $\overline{\bar{z}}=z$; (2) $\overline{z_1 \circ \bar{z}_2}=\bar{z}_1 \circ \bar{z}_2$, 其中, “” 可以是,,$- \times, \div$; (3) $z \cdot \bar{z}=[\operatorname{Re} z]^2+[\operatorname{Im} z]^2=x^2+y^2$; (4) $$ \begin{aligned} & \frac{z+\bar{z}}{2}=\operatorname{Re} z=x \\ & \frac{z-\bar{z}}{2 i}=\operatorname{Im} z=y \end{aligned} $$ 例 已知 $z_1=5-5 i, z_1=-3+4 i$, 求 $\frac{z_1}{z_2}, \frac{\bar{z}_1}{\bar{z}_2}$. 解 (1) $$ \begin{aligned} \frac{z_1}{z_2} & =\frac{5-5 i}{-3+4 i}=\frac{(5-5 i)(-3-4 i)}{(-3+4 i)(-3-4 i)} \\ & =\frac{-35-5 i}{25}=-\frac{7}{5}-\frac{1}{5} i \end{aligned} $$ (2) $\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}=\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=-\frac{7}{5}+\frac{1}{5} i$. 例 证明 $z_1 \bar{z}_2+\bar{z}_1 z_2=2 \operatorname{Re}\left(z_1 \bar{z}_2\right)$. 证明 $$ \begin{aligned} z_1 \bar{z}_2+\bar{z}_1 z_2 & =z_1 \overline{z_2}+\overline{z_1} \overline{\bar{z}_2} \\ & =z_1 \overline{z_2}+\overline{z_1 \bar{z}_2} \\ & =2 \operatorname{Re}\left(z_1 \overline{z_2}\right) \end{aligned} $$
上一篇:
复数及其四则运算
下一篇:
历史知识 —— 虚数史话
本文对您是否有用?
有用
(
0
)
无用
(
0
)
赞助我们
0
篇笔记
写笔记
更多笔记
提交笔记