共轭复数

日期: 2023-11-18 08:34 查看: 11 次更新导出Word

**1. 共轭复数的定义**

定义 设 $z=x+i y$ 是一个复数,
称 $z=x-i y$ 为 $z$ 的共轭复数, 记作 $\bar{z}$ 。

注 共轭复数有许多用途。
比如

$$
\begin{aligned}
z=\frac{z_1}{z_2} & =\frac{z_1 \cdot \bar{z}_2}{z_2 \cdot \bar{z}_2}=\frac{\left(x_1+i y_1\right)\left(x_2-i y_2\right)}{\left(x_2+i y_2\right)\left(x_2-i y_2\right)} \\
& =\frac{x_1 x_2+y_1 y_2}{x_2^2+y_2^2}+i \frac{x_2 y_1-x_1 y_2}{x_2^2+y_2^2}
\end{aligned}
$$

**2. 共轭复数的性质**

性质 (1) $\overline{\bar{z}}=z$;
(2) $\overline{z_1 \circ \bar{z}_2}=\bar{z}_1 \circ \bar{z}_2$,
其中, “” 可以是,,$- \times, \div$;
(3) $z \cdot \bar{z}=[\operatorname{Re} z]^2+[\operatorname{Im} z]^2=x^2+y^2$;
(4)

$$
\begin{aligned}
& \frac{z+\bar{z}}{2}=\operatorname{Re} z=x \\
& \frac{z-\bar{z}}{2 i}=\operatorname{Im} z=y
\end{aligned}
$$

例 已知 $z_1=5-5 i, z_1=-3+4 i$, 求 $\frac{z_1}{z_2}, \frac{\bar{z}_1}{\bar{z}_2}$.

解 (1)

$$
\begin{aligned}
\frac{z_1}{z_2} & =\frac{5-5 i}{-3+4 i}=\frac{(5-5 i)(-3-4 i)}{(-3+4 i)(-3-4 i)} \\
& =\frac{-35-5 i}{25}=-\frac{7}{5}-\frac{1}{5} i
\end{aligned}
$$

(2) $\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}=\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=-\frac{7}{5}+\frac{1}{5} i$.

例 证明 $z_1 \bar{z}_2+\bar{z}_1 z_2=2 \operatorname{Re}\left(z_1 \bar{z}_2\right)$.

证明

$$
\begin{aligned}
z_1 \bar{z}_2+\bar{z}_1 z_2 & =z_1 \overline{z_2}+\overline{z_1} \overline{\bar{z}_2} \\
& =z_1 \overline{z_2}+\overline{z_1 \bar{z}_2} \\
& =2 \operatorname{Re}\left(z_1 \overline{z_2}\right)
\end{aligned}

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